Opérateur (mathématiques)

Modèle:Voir homonymes Modèle:Ébauche En mathématiques et en physique théorique, un opérateur est une application entre deux espaces vectoriels topologiques.

Définition d'un opérateur

Définition

Soient E et F deux espaces vectoriels topologiques. Un opérateur O est une application de E dans F :

$O:E\to F$

Opérateur linéaire

Un opérateur $O:E\to F$ est linéaire si et seulement si :

$\mathrm{\forall }(\lambda ,\mu )\in K^2,\mathrm{\forall }(x_1,x_2)\in E^2,O(\lambda x_1+\mu x_2)=\lambda O(x_1)+\mu O(x_2)$

où K est le corps des scalaires de E et F.

Remarque

Lorsque E est un $𝕂$-espace vectoriel, et que $F=𝕂$ (c'est un corps), un opérateur est une forme linéaire sur E.

Domaine (de définition)

On étend la définition précédente à des applications linéaires définies seulement sur un sous-espace vectoriel de E, qu'on appelle alors domaine de définition de l'opérateur.

Continuité

Par définition de la continuité :

• Soient O un opérateur de domaine $D_0\subset E$ et à valeurs dans F, et $x_0\in D_O$. L'opérateur O est dit continu en $x_0$ si et seulement si pour tout voisinage V de $y_0=O(x_0)$, il existe un voisinage $U$ de $x_0$ tel que :

$\mathrm{\forall }x\in U\cap D_O,O(x)\in V$

• L'opérateur O est dit continu si et seulement s'il est continu en tous les points $x_0\in D_O$ de son domaine.

Articles connexes

• Espace de Banach
• Espace de Hilbert
• Mécanique quantique
• Opérateur compact
• Opérateur différentiel
• Théorie ergodique
• Théorie quantique des champs axiomatique
• Unicode
  • Table des caractères Unicode/U2200
  • Table des caractères Unicode/U2A00

Bibliographie

• A. N. Kolmogorov et S. V. Fomin, Modèle:Langue, Modèle:Langue (1975), Modèle:ISBN.

• T. Kato, Modèle:Langue, série : Modèle:Langue, Springer-Verlag (Modèle:2e édition-1995), Modèle:ISBN.

• B. Yosida, Modèle:Langue, série : Modèle:Langue, Springer-Verlag (Modèle:6e édition-1995), Modèle:ISBN.