Théorème de la limite monotone

Le théorème de la limite monotone (parfois appelé théorème de convergence monotone) est un théorème d'analyse selon lequel les éventuelles discontinuités d'une fonction numérique monotone sont « par sauts » et les suites monotones possèdent une limite.

Énoncé pour les fonctions

Soient Modèle:Math un intervalle réel ouvert non vide (borné ou non : $-\mathrm{\infty }\le a<b\le +\mathrm{\infty }$) et $f:]a,b[\to ℝ$ une fonction croissante. AlorsModèle:, :

• Modèle:Mvar admet en Modèle:Mvar une limite à gauche, qui est finie si Modèle:Mvar est majorée et qui vaut Modèle:Math sinon ;
• Modèle:Mvar admet en Modèle:Mvar une limite à droite, qui est finie si Modèle:Mvar est minorée et qui vaut Modèle:Math sinon ;
• Modèle:Mvar admet en tout point Modèle:Mvar de Modèle:Math une limite à gauche et une limite à droite, qu'on note respectivement Modèle:Math et Modèle:Math ; elles sont finies et vérifient $f(x^{-})\le f(x)\le f(x^{+})$.

Plus généralement : Modèle:Énoncé

Le théorème analogue pour les fonctions décroissantes s'en déduit en remplaçant Modèle:Math par Modèle:Math ; il convient d'inverser le sens des inégalités et d'échanger « minorée » et « majorée » ainsi que « Modèle:Math » et « Modèle:Math ».

Énoncé pour les suites

Lorsqu'on prend $D=\mathbb{N}$ et $a=+\mathrm{\infty }$ dans l'énoncé général ci-dessus, on obtient :

Soit $u={\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite croissante de réels. Alors, $\lim u=\sup u(\mathbb{N})$. Par conséquent :

• si la suite est majorée alors elle est convergente ;
• si la suite n'est pas majorée alors elle tend vers Modèle:Math.

Le théorème analogue pour les suites décroissantes s'en déduit en remplaçant $u$ par $-u$.

Articles connexes

• Suite de Specker, exemple d'une suite de nombres rationnels qui est calculable, croissante et majorée, mais dont la limite n'est pas un nombre réel calculable.
• Théorème de la bijection (version forte), utilisant parfois le théorème de la limite monotone pour établir la continuité de toute surjection monotone d'un intervalle sur un intervalle.