Relation de dispersion

Bandes isolantes topologiques et à séparation de Rashba

En physique théorique, une relation de dispersion est une relation entre la pulsation $\omega$ et le vecteur d'onde $\overrightarrow{k}$ d'une onde monochromatique.

Par extension, la dualité onde-corpuscule de la physique quantique conduit à l'introduction de relation de dispersion pour une particule, comme relation entre son énergie $E$ et sa quantité de mouvement $\overrightarrow{p}$.

Exemples

Onde monochromatique de célérité c dans un milieu non dispersif

Un milieu non dispersif est caractérisé par un indice $n$ indépendant de la pulsation. La relation de dispersion s'écrit$$\omega =\frac{c}{n}\Vert \overrightarrow{\mathbf{\text{k}}}\Vert .$$avec $\overrightarrow{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">k</mi>}}}$ le vecteur d'onde. La vitesse de phase est alors constante, $V_{\phi }=\frac{\omega }{\Vert \overrightarrow{\mathbf{\text{k}}}\Vert }=\frac{c}{n}$, et est égale à la vitesse de groupe :$$V_g=\frac{\text{d}}{\text{d}\Vert \overrightarrow{\mathbf{\text{k}}}\Vert }\omega =\frac{c}{n}.$$

Onde monochromatique de célérité c dans un milieu dispersif

Dans un milieu dispersif, l'indice optique $n$ dépend de la pulsation $\omega$. La relation de dispersion devient$$\omega =\frac{c}{n(\omega )}\Vert \overrightarrow{\mathbf{\text{k}}}\Vert$$avec $\overrightarrow{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">k</mi>}}}$ le vecteur d'onde. La vitesse de phase dépend alors explicitement de la pulsation, soit :$$V_{\phi }=\frac{\omega }{\Vert \overrightarrow{\mathbf{\text{k}}}\Vert }=\frac{c}{n(\omega )}$$La vitesse de groupe n'est en général plus égale à la vitesse de phase, mais lui est reliée par la relation de Rayleigh :$$V_g=\frac{\text{d}}{\text{d}\Vert \overrightarrow{\mathbf{\text{k}}}\Vert }\omega =\frac{\text{d}}{\text{d}\Vert \overrightarrow{\mathbf{\text{k}}}\Vert }(\Vert \overrightarrow{\mathbf{\text{k}}}\Vert V_{\phi })=V_{\phi }+\Vert \overrightarrow{\mathbf{\text{k}}}\Vert \frac{\text{d}}{\text{d}\Vert \overrightarrow{\mathbf{\text{k}}}\Vert }{V}_{\phi }$$

Particule non relativiste de masse m

En notant : $p=||\overrightarrow{p}||$, la relation de dispersion s'écrit :

$E=\frac{p^2}{2m}$

Particule relativiste de masse m

La Modèle:Terme définiModèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn est la Modèle:Terme définiModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn obtenue à partir du carré la norme du quadrivecteur énergie-quantité de mouvementModèle:Sfn.

Elle est donnée par :

$E^2=p^2{c}^2+m^2{c}^4$,

d'où, pour une particule de masse $m$ non nulle :

$E=\sqrt{p^2{c}^2+m^2{c}^4}$

Particule relativiste de masse nulle

$E=pc$

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.

Articles connexes

• Électrodynamique des milieux continus
• Théorie quantique des champs
• Dispersion