Lemme fondamental du calcul des variations

Le lemme fondamental du calcul des variations est un lemme essentiel au calcul des variations. Friedrich Ludwig Stegmann l'a énoncé en 1854 et justifié par un argument très succinct et incorrect ; auparavant, Joseph-Louis Lagrange l'avait tenu pour allant de soi et ses successeurs jusqu'à Stegmann auraient fait de mêmeModèle:,. Des démonstrations correctes ont été obtenues par Eduard Heine en 1870 et Paul David Gustave du Bois-Reymond en 1879. Des généralisations très importantes de ce lemme ont été réalisées : par Du Bois-Reymond, en 1879 également (lemme de Du Bois-Reymond) ; et par Alfréd Haar, entre 1926 et 1929 (lemme de Haar)Modèle:,. Ces différents lemmes et leurs applications sont présentés dans ce qui suit.

Cas usuel du lemme fondamental du calcul des variations

Rappelons qu'une fonction définie sur un ouvert Modèle:Math est dite de classe CModèle:Exp si elle est k-fois continument dérivable. Par exemple la classe CModèle:Exp est constituée des fonctions continues, et la classe CModèle:Exp est constituée des fonctions indéfiniment dérivables. Les fonctions [[Fonction C∞ à support compact|CModèle:Exp à support compact]] dans Modèle:Math sont appelées les fonctions test sur Modèle:Math.

Le lemme fondamental du calcul des variations, dans sa version usuelle, s'exprime comme suit :

Généralisation au cas des intégrales multiples

Remarque sur le lemme fondamental du calcul des variations

• Sous sa forme donnée ici, le lemme fondamental du calcul des variations permet d'obtenir l'équation d'Ostrogradski du calcul des variations (généralisation de l'équation d'Euler-Lagrange).
• Le résultat de ce lemme reste vrai pour Modèle:Math seulement localement intégrable, à valeurs dans un espace vectoriel réel de dimension finie : la conclusion est changée en « Modèle:Math est nulle presque partout ». Ce point est fondamental en théorie de la mesure. Il montre en effet que si $T_f$ désigne la mesure de Radon définie par une fonction localement intégrable Modèle:Math, l'égalité $T_f=0$ équivaut à $f=0$ presque partout. Par passage au quotient, si $\overline{f}$ désigne la classe de Lebesgue de Modèle:Math, l'application linéaire $\overline{f}\mapsto T_f$ (qui est bien définie) est injective, et l'on peut donc plonger $L_{loc}^1(U)$ (l'espace des classes de Lebesgue de fonctions localement intégrables sur Modèle:Math) dans l'espace des mesures de Radon sur Modèle:Math (et a fortiori dans l'espace ${𝒟}^{\prime }(U)$ des distributions sur Modèle:Math).

Lemme de Du Bois-Reymond

Le lemme de Du Bois-Reymond généralise le Lemme fondamental du calcul des variations dans le « cas usuel ».

Remarque sur le lemme de Du Bois-Reymond

• En faisant Modèle:Math, on retrouve le Lemme fondamental du calcul des variations.
• On a vu dans la preuve comment se ramener au cas où $g=0$. Le lemme de Du Bois-Reymond a originellement été énoncé dans le cas $E=ℝ$ de la manière suivante : soit Modèle:Math continue sur Modèle:Math, et supposons vérifiée l'égalitéModèle:Retraitpour toute fonction Modèle:Math de classe CModèle:1 sur Modèle:Math, vérifiant Modèle:Math ; alors Modèle:Math est constante. Une formulation voisine de celle encadrée ci-dessus est présentée (dans le cas $E=ℝ$ et en remplaçant, comme ici, les fonctions test par les fonctions CModèle:1 nulles au bord) par Modèle:Lien.
• L'hypothèse du lemme de Du Bois-Reymond s'interprète en termes de distributions : elle signifie que la distribution Modèle:Math est la dérivée de la distribution Modèle:Math. Une généralisation naturelle du lemme est alors : si la dérivée d'une distribution Modèle:Math sur Modèle:Math est une distribution Modèle:Math associée à une fonction localement intégrable Modèle:Math, alors Modèle:Math pour une fonction absolument continue Modèle:Math, dont la dérivée en presque tout point Modèle:Math, et en tout point Modèle:Math où Modèle:Math est continue, existe et est égale à Modèle:Math.

Application du lemme de Du Bois-Reymond au calcul des variations

Soient Modèle:Math un espace vectoriel normé, Modèle:Math l'espace vectoriel $C^1([a,b],E)$, $ℱ$ le même ensemble mais vu comme espace affine de direction Modèle:Math, $\mathrm{\Omega }$ un ouvert de $ℱ\times F$ et $ℒ$ une fonction réelle de classe CModèle:1, définie sur la partie $[a,b]\times \mathrm{\Omega }$ de $[a,b]\times ℱ\times F$, et dont on notera $\frac{\partial ℒ}{\partial x}$ et $\frac{\partial ℒ}{\partial \dot{x}}$ les dérivées partielles par rapport aux Modèle:2e et Modèle:3e. Cherchons les extrémales Modèle:Math de la fonctionnelle

telles que (i) $x(a)$ et $x(b)$ ont des valeurs fixées et (ii) $(x,\dot{x})$ est à valeurs dans $\mathrm{\Omega }.$ Le sous-espace de $ℱ$ constitué des fonctions Modèle:Math vérifiant (i) est un sous-espace affine $𝒢,$ dont la direction Modèle:Math est le sous-espace vectoriel de Modèle:Math constitué des fonctions nulles en Modèle:Math et Modèle:Math. On restreint à Modèle:Math la norme naturelle de Modèle:Math :

${\Vert h\Vert }_1=\underset{t\in [a,b]}{\sup }(\Vert h(t)\Vert +\Vert \dot{h}\left(t\right)\Vert ).$

Le sous-ensemble constitué des fonctions Modèle:Math vérifiant (ii) est alors un ouvert de $𝒢$, et la différentielle de Modèle:Math au point Modèle:Math est la forme linéaire continue

Une condition nécessaire pour que $x$ soit une extrémale de $J$ est $\mathrm{d}J(x)=0$, soit encore $\delta J(x;h)=0$ pour tout $h\in G$. Par le lemme de Du Bois-Reymond, une condition nécessaire d'extremum est donc que la fonction $t\mapsto \frac{\partial ℒ}{\partial \dot{x}}(t,x(t),\dot{x}(t))$ soit dérivable sur $]a,b[$ et de dérivée donnée par l'équation d'Euler-Lagrange :

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{\partial ℒ}{\partial \dot{x}}(t,x(t),\dot{x}(t)))-\frac{\partial ℒ}{\partial x}(t,x(t),\dot{x}(t))=0,$

ce qui entraîne que la fonction est non seulement dérivable sur $]a,b[$ mais de classe CModèle:1 sur $[a,b]$ (« première condition de Weierstrass-Erdmann »).

On aurait pu être tenté d'intégrer par parties le second terme dans l'intégrale donnant l'expression initiale de $\delta J(x;h)$, puis appliquer lemme fondamental du calcul des variations, mais alors il aurait fallu supposer $\dot{x}$ et $\frac{\partial ℒ}{\partial \dot{x}}$ de classe CModèle:1 (voir la démonstration classique de l'équation d'Euler-Lagrange).

Lemme de Du Bois-Reymond généralisé

On obtient une généralisation du lemme de Du Bois-Reymond, dans le cas où $E={ℝ}^n$, en supposant seulement Modèle:Math intégrable au sens de Lebesgue sur $[a,b]$ et en remplaçant $f\mathrm{d}t$ par une mesure $\nu$ à valeurs dans (ℝModèle:Exp)*, ainsi que $\dot{h}$ par $\dot{h}-Bh$ où $B$ est une fonction continue de $[a,b]$ dans l'algèbre des endomorphismes de ℝModèle:Exp. On parvient alors à l'énoncé suivant :

Application à la commande optimale

La généralisation ci-dessus du lemme de Du Bois-Reymond est utilisée pour résoudre les problèmes de commande optimale.

On considère le critère

$J\left(u\right)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}l(t,x(t),u(t))dt$

à minimiser sous la contrainte dynamique

$\dot{x}=\phi (t,x,u)$

pour des conditions initiales et finales fixées, où les fonctions l et $\phi$ sont de classe CModèle:1 de $[a,b]\times {\mathrm{\Omega }}_1\times {\mathrm{\Omega }}_2$ dans ℝ et ℝModèle:Exp respectivement, où ${\mathrm{\Omega }}_1$ et ${\mathrm{\Omega }}_2$ sont des ouverts non vides dans ℝModèle:Exp et ℝModèle:Exp respectivement. On recherche ici un « minimum faible », à savoir que la « commande optimale » $\hat{u}$ est cherchée parmi les fonctions de classe CModèle:1 de $[a,b]$ dans ${\mathrm{\Omega }}_2$ ; la dérivée $\dot{\hat{x}}$ de l'« état » correspondant appartient alors nécessairement à l'espace E des fonctions continues de $[a,b]$ dans ℝModèle:Exp ; E est un espace de Banach muni de la "norme du sup" habituelle. On utilise un multiplicateur de Lagrange $\mu$ appartenant au dual topologique de E, à savoir une mesure de Radon à valeurs dans le dual (ℝModèle:Exp)*, et on forme le lagrangien

$𝔏(x,\dot{x},u;\mu )=J(u)+⟨\mu ,\dot{x}-\phi (t,x,u)⟩=J(u)+⟨\nu ,{({(\dot{x}-\phi (t,x,u))}^T,{\dot{u}}^T)}^T⟩$

avec $\nu =(\mu ,0)$, où l'on représente les vecteurs de ℝModèle:Exp et ℝModèle:Exp par des colonnes et les covecteurs par des lignes. Écrivons que, pour que $J(u)$ soit minimum pour les valeurs $\hat{u}$, $\hat{x}$ de x et de u sous la contrainte dynamique considérée, il doit exister un multiplicateur de Lagrange $\hat{\mu }$ pour lequel $d𝔏(\hat{x},\dot{\hat{x}},\hat{u};\hat{\mu })=0$. On a

$d𝔏(\hat{x},\dot{\hat{x}},\hat{u};\hat{\mu }):(h,\dot{h})\mapsto \delta 𝔏(\hat{x},\dot{\hat{x}},\hat{u},\hat{\mu };h,\dot{h})$

où $h={(\delta x^T,\delta u^T)}^T$ et

$\delta 𝔏(\hat{x},\dot{\hat{x}},\hat{u},\hat{\mu };h,\dot{h})=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(⟨\nu \left(t\right),\dot{h}\left(t\right)-B(t)h(t)⟩+⟨g\left(t\right),h\left(t\right)⟩)dt$,

$g(t)=(\frac{\partial l}{\partial x},\frac{\partial l}{\partial u}),\nu =(\mu ,0),B=\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial \phi }{\partial x}& \frac{\partial \phi }{\partial u}\\ 0& 0\end{array}\right).$

où les différentielles partielles sont évaluées en $(t,\hat{x}(t),\hat{u}(t))$. Le Lemme de Du Bois-Reymond généralisé implique que la mesure $\hat{\mu }$ est absolument continue. De plus, en appelant $p^{\prime }$ la densité de $\mu$, i.e. $\mu =p^{\prime }.dt$ où $p^{\prime }$ est une fonction continue de $[a,b]$ dans (ℝModèle:Exp)* et, en définissant le « pseudo-hamiltonien »

$\mathscr{H}(t,x,u,p^{\prime })=⟨p^{\prime },\phi (t,x,u)⟩-l(t,x,u)$,

qui implique évidemment

$\dot{\hat{x}}(t)=\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial p^{\prime }}(t,\hat{x}(t),\hat{u}(t),\widehat{p^{\prime }}(t))$ (« première équation canonique »)

on obtient les conditions

$\dot{\widehat{p^{\prime }}}(t)=-\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial x}(t,\hat{x}(t),\hat{u}(t),\widehat{p^{\prime }}(t))$ (« deuxième équation canonique ») et

$0=\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial u}(t,\hat{x}(t),\hat{u}(t),\widehat{p^{\prime }}(t))$ (« condition de stationnarité »)

qui doivent être vérifiées presque partout.

Ceci peut être vu comme un cas particulier du principe du maximum de Pontryagin. Ce dernier s'obtient avec des « variations fortes » de la commande (variations « en aiguilles » ou « en pointes ») alors que ci-dessus on a réalisé des « variations faibles ». Le Principe du maximum entraîne dans le cas considéré la condition de stationnarité (car la maximisation s'effectue sur un ouvert) mais la réciproque est fausse.

Lemme de Haar

Le lemme fondamental du calcul des variations conduit facilement à une généralisation de l'équation d'Euler-Lagrange pour des extrémales de classe CModèle:2 dans le cas du calcul des variations à intégrale multiple (voir § Calcul des variations à intégrale multiple). Le lemme de Du Bois-Reymond, comme on l'a vu plus haut, permet de rechercher, dans le cas du calcul des variations à intégrale simple, des extrémales de classe CModèle:1. La recherche d'extrémales de classe CModèle:1 pour le calcul des variations à intégrale multiple se réalise grâce aux conditions obtenues par Alfréd Haar entre 1926 et 1929.

1) Dans le cas d'intégrales doubles, le résultat de Haar s'énonce comme suit : soit Modèle:Math un ouvert simplement connexe de ℝModèle:2, et Modèle:Math et Modèle:Math des fonctions continues de Modèle:Math dans ℝ. Supposons que pour toute fonction test Modèle:Math (de Modèle:Math dans ℝ) on ait

$\int (u\frac{\partial h}{\partial x_1}+v\frac{\partial h}{\partial x_2})\mathrm{d}{x}_1\mathrm{d}{x}_2=0.$

Alors il existe une fonction $\omega :D\to ℝ$ telle que $u=\frac{\partial \omega }{\partial x_2}$ et $v=-\frac{\partial \omega }{\partial x_1}.$

2) Comme l'a montré Haar dans son second article cité en référence, le procédé utilisé dans la démonstration ci-dessus s'étend sans difficulté au cas d'une intégrale multiple :

Remarque sur le lemme de Haar

• De même que dans le lemme de Du Bois-Reymond sur lequel il repose, on peut remplacer, dans le lemme de Haar, l'espace d'arrivée ℝ des fonctions test par un espace vectoriel normé $E$, et l'espace d'arrivée ℝ des fonctions $u_i$ par le dual $E^{\prime }.$
• Pour n = 1, on retrouve le lemme de Du Bois-Reymond.

Application du lemme de Haar au calcul des variations

Illustrons le lemme de Haar dans le cas n = 2. Soit ${\mathrm{\Omega }}_1$, ${\mathrm{\Omega }}_2$, ${\mathrm{\Omega }}_3$ des ouverts non vides de ℝ, et

$ℒ:D\times {\mathrm{\Omega }}_1\times {\mathrm{\Omega }}_2\times {\mathrm{\Omega }}_3\to ℝ:(x,y,p,q)\mapsto ℒ(x,y,p,q)$

une fonction de classe CModèle:1 telle que les dérivées partielles $\frac{\partial ℒ}{\partial p}$ et $\frac{\partial ℒ}{\partial q}$ sont également de classe CModèle:1. Considérons la fonctionnelle

$J\left(y\right)=\underset{D}{\iint }ℒ(x_1,x_2,p,q,y)d{x}_{1}d{x}_2$

où y est une fonction de classe CModèle:1 dans D, à valeurs réelles, $p=\frac{\partial y}{\partial x_1}$ et $q=\frac{\partial y}{\partial x_2}$. On se propose de déterminer une condition nécessaire pour qu'une fonction $y^{*}$ soit une extrémale de classe CModèle:1 ayant des valeurs fixées sur $\partial D$.

La différentielle de J au point y est

$dJ\left(y\right):h\mapsto \delta J(y;h)=\underset{D}{\iint }(u.\frac{\partial h}{\partial x_1}+v.\frac{\partial h}{\partial x_2}+w.h)d{x}_{1}d{x}_2$

avec $u=\frac{\partial ℒ}{\partial p}$, $v=\frac{\partial ℒ}{\partial q}$ et $w=\frac{\partial ℒ}{\partial y}$.

(1) Supposons tout d'abord que $ℒ$ ne dépende pas explicitement de y, donc que l'on ait $w=0$. Pour que $y^{*}$ soit solution du problème, il est nécessaire, d'après le lemme de Haar, qu'il existe une fonction $\omega :D\to ℝ$ de classe CModèle:1 telle que $u=\frac{\partial \omega }{\partial x_2}$ et $v=-\frac{\partial \omega }{\partial x_1}$.

(2) Dans le cas où $ℒ$ dépend explicitement de y, on se ramène au cas précédent en introduisant une fonction $\mathrm{\Omega }$ de classe CModèle:2 telle que

$2\mathrm{\Omega }(x_1,x_2)=\underset{[a_1,x_1]\times [a_2,x_2]}{\iint }\frac{\partial ℒ}{\partial y}d{\xi }_{1}d{\xi }_2$

où $[a_1,x_1]\times [a_2,x_2]\subset D$. Soit h une fonction de classe CModèle:1 s'annulant sur $\partial D$. Des intégrations par parties permettent d'obtenir

$2\underset{D}{\iint }h.w.d{x}_{1}d{x}_2=-2\underset{D}{\iint }\frac{\partial h}{\partial x_1}\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial x_2}d{x}_{1}d{x}_2=-2\underset{D}{\iint }\frac{\partial h}{\partial x_2}\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial x_1}d{x}_{1}d{x}_2$

et par conséquent

$\delta J(y;h)=\underset{D}{\iint }\{(u-\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial x_2}).\frac{\partial h}{\partial x_1}+(v-\frac{\partial \mathrm{\Omega }}{\partial x_1}).\frac{\partial h}{\partial x_2}\}d{x}_{1}d{x}_2.$

On a donc obtenu le

En particulier, si l'on recherche $y^{*}$ de classe CModèle:2, $\omega$ sera de classe CModèle:2 ; d'après le théorème de Schwarz, on obtient alors

$\frac{\partial u}{\partial x_1}=\frac{{\partial }^2\omega }{\partial x_1\partial x_2}+w,\frac{\partial v}{\partial x_2}=-\frac{{\partial }^2\omega }{\partial x_1\partial x_2}+w$

et par conséquent

$\frac{\partial ℒ}{\partial y}-\frac{\partial }{\partial x_1}\left(\frac{\partial ℒ}{\partial \left(\frac{\partial y}{\partial x_1}\right)}\right)-\frac{\partial }{\partial x_2}\left(\frac{\partial ℒ}{\partial \left(\frac{\partial y}{\partial x_2}\right)}\right)=0.$

Cette généralisation de l'équation d'Euler-Lagrange, appelée équation d'Ostrogradski, peut également s'obtenir à partir du lemme fondamental du calcul des variations.

Voir aussi

Articles connexes

• Lemme de Poincaré
• Courant (mathématiques)