Lemniscate de Gerono

La lemniscate de Gerono est une courbe plane, qui a été étudiée par Grégoire de Saint-Vincent en 1647 puis par Gabriel Cramer en 1750.

Équations

Paramétrisation cartésienne : ${\begin{matrix} x = a \sin t \\ y = a \sin t \cos t \end{matrix} (\cos t = \tan θ),$ où $θ$ désigne l'angle polaire.

Équation algébrique : $x^{4} = a^{2} (x^{2} - y^{2})$ ou $a y = \pm x \sqrt{a^{2} - x^{2}} .$

Équation polaire : $ρ^{2} = a^{2} \frac{\cos 2 θ}{\cos^{4} θ},$ où $ρ$ désigne la distance radiale.

La longueur de la courbe vaut

s = [4 \sqrt[4]{2} (E (k) - K (k)) + \frac{(3 + 2 \sqrt{2}) \sqrt[4]{8}}{2} Π (\frac{4 - 3 \sqrt{2}}{8}, k)] a

où Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Math désignent respectivement les [[Intégrale elliptique|intégrales elliptiques complètes de Modèle:1re, Modèle:2e et Modèle:3e espèce]], pour $k = \frac{\sqrt{2 + 4 \sqrt{2}}}{4} .$

Son aire totale est de $\frac{4}{3} a^{2} .$

La lemniscate de Gerono est un cas particulier de besace.