Fibré tangent

Deux manières de représenter le fibré tangent d'un cercle : tous les espaces tangents (en haut) sont regroupés de manière continue et sans se recouvrir (en bas).

En mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, le fibré tangent $TM$ associé à une variété différentielle M est la somme disjointe de tous les espaces tangents en tous les points de la variété, soit :

$\begin{array}{cc}TM& =\underset{x\in M}{⨆}{T}_{x}M\\ & =\bigcup _{x\in M}\left\{x\right\}\times T_{x}M\\ & =\bigcup _{x\in M}\{(x,v)\mid v\in T_{x}M\}\\ & =\{(x,v)\mid x\in M,v\in T_{x}M\}\end{array}$

où $T_{x}M$est l'espace tangent de $M$ en $x$. Un élément de $TM$ est donc un couple $(x,v)$ constitué d'un point $x$ de $M$ et d'un vecteur $v$ tangent à $M$ en $x$.

Le fibré tangent peut être muni d'une topologie découlant naturellement de celle de $M.$ Sous cette topologie, il possède une structure de variété différentielle prolongeant celle de $M$ ; c'est un espace fibré de base $M$, et même un fibré vectoriel.

Utilité

Le fibré tangent apparait en particulier comme le domaine de définition de la dérivée d'une fonction différentiable sur $M$ : si $f:M\to N$ est une application différentiable entre deux variétés différentielles $M$ et $N$, alors sa dérivée est une fonction $Df:TM\to TN$.

Exemples

Supposons que $M$ soit une sous-variété de classe $C^k$ (k ≥ 1) et de dimension $d$ de ${ℝ}^n$ ; on peut voir alors $TM$ comme l'ensemble des couples $(x,v)\in {ℝ}^n\times {ℝ}^n$ formés d'un point $x\in M$et d'un vecteur $v$ tangent à $M$ en $x$. (Passer à ${ℝ}^n\times {ℝ}^n$ permet de voir les espaces tangents aux différents points comme des ensembles disjoints.)

On obtient ainsi une sous-variété de classe $C^{k-1}$ et de dimension 2d de ${ℝ}^n\times {ℝ}^n$. En effet, pour tout point de $M$, il existe un ouvert $U\subset {ℝ}^n$ et une submersion $f:U\mapsto {ℝ}^{n-d}$ (de classe $C^k$) tels que $U\cap M=f^{-1}(0)$. On en déduit que

$T(U\cap M)=\{(x,v)\in U\times {ℝ}^n,f(x)=0\mathrm{e}\mathrm{t}{f}^{\prime }(x)\cdot v=0\}$

Mais l'application $(x,v)\mapsto (f(x),f^{\prime }(x)\cdot v)$ est une submersion de classe $C^{k-1}$ de $U\times {ℝ}^n$ dans ${ℝ}^{2(n-d)}$

Exemple : Le fibré tangent au cercle $S^1=\{(x,y)\in {ℝ}^2,x^2+y^2=1\}$ apparaît ainsi comme la sous-variété

$\{(x,y,X,Y)\in {ℝ}^4,x^2+y^2=1,xX+yY=0\}$.

Il est difféomorphe au cylindre $S^1\times ℝ$ (voir ci-contre).

En dimensions supérieures, il devient plus difficile de visualiser les fibrés tangents ; ainsi pour une variété de dimension 2, le fibré tangent correspondant est une variété de dimension 4. Ainsi dans le cas du théorème de la boule chevelue, le fibré tangent à la sphère est non trivial.

Topologie

On définit une topologie sur $TM$ en tant qu'espace fibré en se donnant pour chaque ouvert $U$ de $M$ une trivialisation locale

${\phi }_U\{\begin{array}{ccc}TM& \to & U\times V\\ m& \mapsto & (P_U(m),v_U(m))\end{array}$

où $V$ est un espace vectoriel isomorphe à l'espace tangent à $M$ en n'importe quel $P\in U$ et pour chaque $m\in TM$, $v_U(m)$ appartient à l'espace tangent à $M$ en $P_U(m)$ .

Par ailleurs ${\phi }_U$ doit satisfaire à la condition de recollement suivante : Si $P_0=P(m)\in U_1\cap U_2$ où $U_1$ et $U_2$ sont des ouverts associés à des cartes $x_1^{\mu }$ et $x_2^{\mu }$ alors on doit avoir (en notation de coordonnées pour les vecteurs $v_{U_1}$ et $v_{U_2}$)

$v_{U_2}^{\mu }(m)={\frac{\partial x_2^{\mu }}{\partial x_1^{\nu }}|}_{P_0}{v}_{U_1}^{\nu }(m)$

où on a adopté la convention de sommation d'indices répétés d'Einstein.

Champ de vecteurs

Un champ de vecteurs (ou champ vectoriel) est une fonction lisse associant à chaque point d'une variété un vecteur tangent en ce point. Un tel champ de vecteurs est donc une fonction différentiable prenant ses valeurs dans le fibré tangent :

$\begin{array}{cc}V:M& \to TM\\ x& \mapsto (x,V_x)\end{array}$

où $V_x\in T_{x}M$ est un vecteur de l'espace tangent à $M$ en $x$. En d'autres termes ce champ est une section lisse de l'espace fibré $TM$.

L'ensemble des champs vectoriels sur $M$ est noté $\mathrm{\Gamma }(TM)$ ou $𝔛(M)$. Il peut être muni d'une opération d'addition définie par $(V+W{)}_x=V_x+W_x$ et d'une multiplication par une fonction f à valeurs réelles différentiable sur M : $(f\cdot V{)}_x=f(x)V_x$. Ces opérations lui donnent une structure de module sur l'anneau des fonctions différentiables à valeurs réelles sur $M$.

Un champ vectoriel local est un champ défini localement sur un ouvert $U$ de $M$, associant à chaque point de $U$ un vecteur de l'espace tangent correspondant. L'ensemble des champs de vecteurs locaux de $M$ forme un faisceau des espaces vectoriels réels sur $M$.

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