Dérivée totale

En analyse, la dérivée totale d'une fonction est une généralisation du nombre dérivé pour les fonctions à plusieurs variables. Cette notion est utilisée dans divers domaines de la physique et tout particulièrement en mécanique des milieux continus et en mécanique des fluides dans lesquels les grandeurs dépendent à la fois du temps et de la position.

Définition

Soit $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ une fonction à plusieurs variables et $x_1=x_1(t)$, $x_2=x_2(t),\dots ,x_n=x_n(t)$, $n$ fonctions de $t$. Si elle existe, la dérivée totaleModèle:,Modèle:, par rapport à $t$ de la fonction composée $f(x_1(t),x_2(t),\dots ,x_n(t))$ s'exprime à partir de l'expression de la différentielle $\mathrm{d}f$ par :

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial x_1}\frac{\mathrm{d}{x}_1}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial f}{\partial x_2}\frac{\mathrm{d}{x}_2}{\mathrm{d}t}+\dots +\frac{\partial f}{\partial x_n}\frac{\mathrm{d}{x}_n}{\mathrm{d}t}$.

Elle est notée $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$ et ne doit pas être confondue avec la dérivée partielle notée $\frac{\partial }{\partial t}$.

Dérivée particulaire

Dans le cas où la fonction $f:(t,x(t),y(t),z(t))\mapsto f(t,x(t),y(t),z(t))$ dépend directement du temps en plus de la position, la dérivée totale s'écrit :

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}$,

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial t}+(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}})f$,

où $(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}})$est l'opérateur advection.

En mécanique des fluides, la première partie correspond à la variation locale tandis que la deuxième partie correspond à la variation liée au déplacement de la particule fluide (contribution dite advective ou convective). Parfois notée $\frac{\mathrm{D}f}{\mathrm{D}t}$, la dérivée totale par rapport au temps est également qualifiée de dérivée particulaire, de dérivée convective, de dérivée substantielle, de dérivée matérielle ou de dérivée suivant le mouvement.

Articles connexes

• Dérivée partielle
• Dérivée directionnelle