Espace T1

Modèle:Titre mis en forme Modèle:Confusion Modèle:Ébauche En mathématiques, un espace accessible (ou espace TModèle:Ind, ou de Fréchet) est un cas particulier d'espace topologique, obéissant à l'axiome TModèle:Ind des axiomes de séparation.

Définition

Un espace topologique X est dit TModèle:Ind si pour tout couple d'éléments distincts $(x,y)\in X^2$, il existe un voisinage de x qui ne contient pas y et il existe un voisinage de y qui ne contient pas x.

Notons que le « et » est seulement un « ou » pour les espaces [[Espace_de_Kolmogorov|TModèle:Ind]], montrant au passage que tout espace TModèle:Ind est TModèle:Ind.

Propriétés

Soit X un espace topologique.

Caractérisations

Les propriétés suivantes sont équivalentes :

• X est TModèle:Ind ;
• X est [[Espace de Kolmogorov|TModèle:Ind]] et [[Espace R0|RModèle:Ind]] ;
• tout singleton est fermé ;
• toute partie finie de X est fermée ;
• tout singleton est l'intersection de ses voisinages ;
• toute partie de X est l'intersection de ses voisinages ;
• pour tout x de X, l'ultrafiltre principal en x converge seulement vers x ;
• tout point limite d'une partie de X est point d'accumulation de cette partie (voir infra pour le vocabulaire).

Points limites

On définit ici un point limite $a\in X$ d'une partie $Y\subset X$ comme étant tel que tout voisinage de $a$ admette au moins un élément de $Y$ différent de $a$.

On définit ici un point d'accumulation $a\in X$ d'une partie $Y\subset X$ comme étant tel que tout voisinage de $a$ admette une infinité d'éléments de $Y$.

Une propriété fondamentale est que dans un espace TModèle:Ind, les notions de point limite et de point d'accumulation sont synonymes.

Ainsi, dans un espace TModèle:Ind, si une partie admet un point limite, alors cette partie et donc l'espace sont infinis.

Exemples et contre-exemples

Exemples

• Les espaces triviaux générés par l'ensemble vide ou un singleton sont trivialement TModèle:Ind.
• Tout espace [[espace séparé|TModèle:Ind]] est TModèle:Ind. Donc par exemple les espaces métriques (munis de leur topologie naturelle).
• La topologie cofinie sur un ensemble infini est TModèle:Ind.

Contre-exemples

• Tout espace muni de la Modèle:Lien n'est pas TModèle:Ind (mais est TModèle:Ind).