Lemme d'Artin-Rees

Le lemme d'Artin-Rees (aussi connu sous le nom de « théorème d'Artin-Rees ») est un théorème d'algèbre commutative, qui sert notamment à démontrer la propriété de platitude de la Modèle:Lien des modules de type fini sur un anneau noethérien. Le théorème d'intersection de Krull s'en déduit.

Énoncés

Le lemme s'énonce comme suit. Modèle:Théorème On en déduit le théorème suivant. Modèle:Théorème

Corollaires

Les deux corollaires suivants se déduisent immédiatement, respectivement, du lemme d'Artin-Rees et du théorème d'intersection de Krull.

En particulier,

• si I est contenu dans le radical de Jacobson de A alors l'intersection est nulle ;
• lorsque A est intègre, l'intersection est nulle si et seulement si I est un idéal propre (c'est-à-dire distinct de A).

Démonstrations

Démonstration du lemme

La démonstration ci-dessous est essentiellement celle de Bourbaki (due en fait à Cartier) et a été reprise par Modèle:Harvsp.

Dans l'anneau de polynômes A[X], considérons la sous-A-algèbre

$B={\oplus }_{n\in \mathbb{N}}{I}^n{X}^n.$

A étant noethérien, I est un idéal de type fini de A et B est une A-algèbre de type fini. C'est donc un anneau noethérien.

Notons

$M_X=A[X]{\otimes }_{A}M={\oplus }_{n\in \mathbb{N}}{X}^{n}M,$

et définissons de même $N_X$. Ainsi, $N_X$ est un sous-A[X]-module de $M_X$, en particulier un sous-B-module.

Définissons un autre sous-B-module de $M_X$ :

$M{\text{'}}_X=B{\otimes }_{A}M={\oplus }_{n\in \mathbb{N}}{X}^n{I}^{n}M.$

Comme M est un A-module de type fini, $M{\text{'}}_X$ est un B-module de type fini, donc noethérien. Le sous-B-module $M{\text{'}}_X\cap N_X$ est donc engendré par un nombre fini de vecteurs. Soit k un entier majorant le degré en X de tous ces vecteurs. Alors,

${\oplus }_{n\in \mathbb{N}}{X}^n((I^{n}M)\cap N)=M{\text{'}}_X\cap N_X=B\left(\underset{j=0}{\overset{k}{⨁}}{X}^j\right((I^{j}M)\cap N\left)\right),$

d'où, pour tout $n\ge k$,

$I^{n}M\cap N=\sum _{j=0}^k{I}^{n-j}((I^{j}M)\cap N)=I^{n-k}\sum _{j=0}^k{I}^{k-j}((I^{j}M)\cap N)\subset I^{n-k}((I^{k}M)\cap N),$

ce qui donne l'inclusion dans un sens. Celle dans l'autre sens est immédiate.

Démonstration du théorème

Notons $N={\cap }_{n>0}{I}^{n}M$. Si un vecteur x de M est tel qu'il existe un élément α de I pour lequel (1-α)x=0 alors x=αⁿx pour tout entier n>0, donc x appartient à N. Pour la réciproque, remarquons que d'après le lemme, N=IN. Le lemme de Nakayama permet de conclure.

Références

• N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre commutative, chapitre III, § 3
• Modèle:Ouvrage, § 5.1 et § 5.3
• Modèle:Lang1, chap. VI, exercices 2 et 3
• Modèle:En Oscar Zariski et Pierre Samuel, Commutative algebra, vol. I, chap. IV, § 7