Lemme de Nakayama

Modèle:Voir homonymes Le lemme de Nakayama est un résultat fondamental d'algèbre commutative. Il doit son origine à Modèle:Lien, Modèle:Lien et Wolfgang Krull.

Énoncés

Un énoncé général est le suivant : Modèle:Théorème

La démonstration de cet énoncé général se ramène à celle du cas particulier N = 0, c'est pourquoi le lemme de Nakayama est souvent énoncé sous cette forme :Modèle:Théorème

Le corollaire suivant est parfois également énoncé sous le nom de « lemme de Nakayama » : Modèle:Théorème (En effet, pour tout élément Modèle:Mvar de Modèle:Mvar, Modèle:Math est inversible.)

Démonstrations

Cas particulier

Soit $X=(x_1,\dots ,x_n)$ une famille génératrice de M. Il existe des $y_{i,j}\in I$ tels que pour tout i, $x_i=\sum _{j=1}^n{y}_{i,j}{x}_j$. En notant Y la matrice des $y_{i,j}$ et d le déterminant de $I_n-Y$, on en déduit que dM=(0) (car tous les $d{x}_j$ sont nuls, d'après la formule de Laplace). Or (en développant le déterminant) d appartient à Modèle:Math. (On peut aussi invoquer le théorème de Cayley-Hamilton pour l'endomorphisme identité de M, de matrice Y dans X.)

Cas général

Le $A$-module $N^{\prime }=M/N$ est de type fini et vérifie $N^{\prime }\subset I{N}^{\prime }$, il suffit alors d'appliquer le résultat précédent : il existe un élément $a\in I$ tel que $(1+a)N^{\prime }=(1+a)M/N=0$ ce qui revient à $(1+a)M\subset N$.