Théorème de Lagrange sur les polynômes

Il s'agit d'un Modèle:Refsou concernant les polynômes. Soit P un polynôme tel que:

$P(x)=x^n+\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i{x}^i$

où les $a_i$ sont réels.

Si a est une racine de P, alors a vérifie

$|a|\le 1+\max (|a_0|,\dots ,|a_{n-1}|).$

Ce théorème reste vrai si les $a_i$ et $a$ sont complexes et l'inégalité est même stricte. Mieux : par le théorème de Rouché, le polynôme P admet n racines (comptées avec leurs multiplicités) dans le disque complexe ouvert de centre 0 et de rayon $1+\max (|a_0|,\dots ,|a_{n-1}|)$, ce qui fournit une preuve du théorème de d'Alembert-Gauss en plus de la majoration annoncée.

Preuve :

Supposons que $a$ est une racine du polynôme de module supérieur à 1 (Dans le cas contraire, la majoration est triviale). Réécrivons $P(x)=0$ de la sorte :

$x^n=-a_0-a_{1}x-...-a_{n-1}{x}^{n-1}$

en écrivant $h=\underset{i=0,..,n-1}{\max }|a_i|$ :

$|x^n|\le |a_0|+|a_1||x|+...+|a_{n-1}||x^{n-1}|$

Comme $|x|>1$ et pour tout entier $n$ on a $|x^n|=|x{|}^n$ , on obtient :

$|x{|}^n\le h[1+|x|+..+|x{|}^{n-1}]$

l'expression entre crochet est une suite géométrique finie, on peut écrire:

$|x{|}^n\le h\frac{|x{|}^n-1}{|x|-1}$

Comme $|x|>1$ :

$|x|-1\le h\frac{|x{|}^n-1}{|x^n|}=h(1-\frac{1}{|x{|}^n})$

Alors:

$|x|-1\le h$

Donc $|x|\le 1+h$ , ce qui achève la démonstration.

Voir aussi

Article connexe

Pour un panorama sur ce type de résultats, voir l'article Théorie des équations (mathématiques).

Lien externe

https://captainblack.wordpress.com/2009/03/08/cauchys-upper-bound-for-the-roots-of-a-polynomial