Tenseur de Killing-Yano

Modèle:Homonymes En géométrie riemannienne, un tenseur de Killing-Yano est une généralisation du concept de vecteur de Killing à un tenseur de dimension supérieure. Ils ont été introduits en 1952 par Kentaro Yano^[1]. Un tenseur antisymétrique d'ordre p $f_{a_{1} a_{2} . . . a_{p}}$ est dit de Killing-Yano lorsqu'il vérifie l'équation

D_{b} f_{c a_{2} . . . a_{p}} + D_{c} f_{b a_{2} . . . a_{p}} = 0

.

Cette équation diffère de la généralisation usuelle du concept de vecteur de Killing à des tenseurs d'ordre plus élevé, appelés tenseurs de Killing par ce que la dérivée covariante D est symétrisée avec un seul indice du tenseur et non la totalité de ceux-ci, comme c'est le cas pour les tenseurs de Killing.

Tenseurs de Killing-Yano triviaux

Tout vecteur de Killing est un tenseur de Killing d'ordre 1 et un tenseur de Killing-Yano.

Le tenseur complètement antisymétrique (dit de Levi-Civita) $ϵ_{a_{1} a_{2} . . . a_{n}}$ , où n est la dimension de la variété est un tenseur de Killing-Yano, sa dérivée covariante étant toujours nulle (voir Nullité de la dérivée covariante du tenseur dualiseur).

Construction de tenseurs de Killing à partir de tenseurs de Killing-Yano

Il existe plusieurs façons de construire des tenseurs de Killing (symétriques) à partir de tenseurs de Killing-Yano.

Tout d'abord, deux tenseurs de Killing triviaux peuvent être obtenus à partir de tenseurs de Killing-Yano :

À partir d'un tenseur de Killing-Yano d'ordre 1 $ξ_{a}$ , on peut construire un tenseur de Killing $K_{a b}$ d'ordre de 2 selon

K_{a b} = ξ_{a} ξ_{b}

.

À partir du tenseur complètement antisymétrique $ϵ_{a_{1} a_{2} . . . a_{n}}$ , on peut construire le tenseur de Killing trivial

K_{a b} = ϵ_{b a_{2} . . . a_{n}} ϵ^{a_{2} . . . a_{n} c} g_{c a} = - 6 g_{a b}

.

De façon plus intéressante, à partir de deux tenseurs de Killing-Yano d'ordre 2 $A_{a b}$ et $B_{a b}$ , on peut construire le tenseur de Killing d'ordre 2 $K_{a b}$ selon

K_{a b} = g^{c d} (A_{a c} B_{d b} + B_{a c} A_{d b})

.

À partir d'un tenseur de Killing-Yano d'ordre n-1, $A_{a_{2} . . . a_{n}}$ , on peut construire le vecteur associé au sens de Hodge (voir Dualité de Hodge),

A^{a} = ϵ^{a a_{2} . . . a_{n}} A_{a_{2} . . . a_{n}}

.

Du fait que le tenseur $A_{a_{2} . . . a_{n}}$ est de Killing-Yano, le vecteur A n'est pas de Killing-Yano, mais obéit à l'équation

D_{a} A_{b} = \frac{1}{n} g_{a b} D_{c} A^{c}

.

Cette propriété permet de construit un tenseur de Killing $K_{a b}$ à partir de deux tels vecteurs, défini par :

K_{a b} = A_{a} B_{b} + A_{b} B_{a} - 2 A^{c} B_{c} g_{a b}

.

Toute combinaison linéraire de tenseurs de Killing-Yano est également un tenseur de Killing-Yano.

Propriétés

Un certain nombre de propriétés des espaces-temps quadridimensionnels impliquant les tenseurs de Killing-Yano ont été exhibées par C. D. Collinson et H. Stephani dans le courant des années 1970^[2]Modèle:,^[3]Modèle:,^[4].

Si un espace-temps admet un tenseur de Killing-Yano non dégénéré, alors celui-ci peut s'écrire sous la forme

A_{a b} = X (l_{a} k_{b} - k_{a} l_{b}) + i Y (m_{a} {\bar{m}}_{b} - {\bar{m}}_{a} m_{b})

,

où k, l, m et

\bar{m}

forment une tétrade et les fonctions X et Y obéisent à un certain nombre d'équations différentielles. De plus, le tenseur de Killing-Yano obéit à la relation suivante avec le tenseur de Ricci^[3]Modèle:,^[4] :

R_{a}^{c} A_{c b} + R_{b}^{c} A_{c a} = 0

.

Les solutions aux équations d'Einstein dans le vide et de type D dans la classification de Petrov admettent un tenseur de Killing et un tenseur de Killing-Yano, tous deux d'ordre 2 et reliés par la formule donnée ci-dessus^[3]Modèle:,^[4].
Si un espace-temps admet un tenseur de Killing-Yano d'ordre 2 dégénéré $A_{a b}$ , alors celui-ci s'écrit sous la forme

A_{a b} = k_{a} p_{b} - p_{a} k_{b}

,

k étant un vecteur de Killing de genre lumière. Le tenseur de Weyl est dans ce cas de type N dans la classification de Petrov, et k est son vecteur propre non trivial. De plus, a possède la relation donnée ci-dessus avec le tenseur de Riemann^[2]Modèle:,^[4]

Si un espace-temps admet un tenseur de Killing-Yano d'ordre 3, alors soit le vecteur associé par dualité de Hodge est un vecteur de genre lumière constant, soit l'espace est conformément plat^[2]Modèle:,^[4].

Voir aussi

Référence

Modèle:Livre KraSteMcCHer, pages 349 à 352.

Note

Modèle:Références

Modèle:Palette Modèle:Portail

↑ Modèle:En Kentaro Yano, Annals of Mathematics, 55, 328 (1952).
↑ ^2,0 ^2,1 et ^2,2 Modèle:En C. D. Collinson, The existence of Killing tensors in empty spacetimes, Tensors, 28, 173 (1974).
↑ ^3,0 ^3,1 et ^3,2 Modèle:En C. D. Collinson, On the relationship between Killing tensors and Killing-Yano tensors, International Journal of Theoretical Physics, 15, 311 (1976).
↑ ^4,0 ^4,1 ^4,2 ^4,3 et ^4,4 Modèle:En H. Stephani, A note on Killing tensors, General Relativity and Gravitation, 9, 789 (1978).

[1] Modèle:En Kentaro Yano, Annals of Mathematics, 55, 328 (1952).

[Col74-2] 2,0 ^2,1 et ^2,2 Modèle:En C. D. Collinson, The existence of Killing tensors in empty spacetimes, Tensors, 28, 173 (1974).

[Col76-3] 3,0 ^3,1 et ^3,2 Modèle:En C. D. Collinson, On the relationship between Killing tensors and Killing-Yano tensors, International Journal of Theoretical Physics, 15, 311 (1976).

[Ste-4] 4,0 ^4,1 ^4,2 ^4,3 et ^4,4 Modèle:En H. Stephani, A note on Killing tensors, General Relativity and Gravitation, 9, 789 (1978).

[1]

[2]

[3]

[4]

Tenseur de Killing-Yano

Sommaire

Tenseurs de Killing-Yano triviaux

Construction de tenseurs de Killing à partir de tenseurs de Killing-Yano

Propriétés

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