Tenseur de Levi-Civita

Modèle:Homon Modèle:À sourcer Dans un espace euclidien orienté de dimension $N$, le tenseur de Levi-Civita – ou tenseur dualiseur – est le tenseur dont les coordonnées dans une base orthonormale directe sont données par le symbole de Levi-Civita d'ordre N. En effet, le symbole de Levi-Civita d'ordre N ${ϵ}_{i_1\dots i_N}$ ou ${ϵ}^{i_1\dots i_N}$ (aussi appelé pseudo-tenseur unité complètement antisymétrique) n'est pas un tenseur. Par exemple, ses composantes devraient être multipliées par $2^N$ lorsque le système de coordonnées est réduit d'un facteur 2.

Tenseur dualiseur

Définition

Dans un espace euclidien orienté il existe une forme volume canonique, notée ici $\eta$, définie comme l'unique forme volume telle que $\eta (B)=1$ pour une (et donc pour toute) base orthonormale directe $B$.

Le tenseur $\eta$ est aussi appelé tenseur de Levi-Civita ou encore tenseur dualiseur.

Coordonnées covariantes et contravariantes

Dans une base $B$ quelconque, on note $(g_{ij})$ la matrice du tenseur métrique et $(g^{ij})$ sa matrice inverse. Le déterminant $g=\det {\mathrm{\backslash nolimits}}_B(g_{ij})$ peut s'exprimer à l'aide du symbole de Levi-Civita.

$g_{i_1{j}_1}\dots g_{i_N{j}_N}{ϵ}^{j_1\dots j_N}=g{ϵ}_{i_1\dots i_N}$

Les coordonnées covariantes et contravariantes du tenseur de Levi-Civita vérifient les relations

${\eta }_{i_1\dots i_N}=g_{i_1{j}_1}\dots g_{i_N{j}_N}{\eta }^{j_1\dots j_N}$

et

${\eta }^{i_1\dots i_N}=g^{i_1{j}_1}\dots g^{i_N{j}_N}{\eta }_{j_1\dots j_N}$

On en déduit, dans une base directe quelconque, les relations

${\eta }_{i_1\dots i_N}=\sqrt{g}{ϵ}_{i_1\dots i_N}$

et

${\eta }^{i_1\dots i_N}=\frac{1}{\sqrt{g}}{ϵ}^{i_1\dots i_N}$

Puisque $g=1$ dans une base orthonormale, on retrouve ce qui est dit en introduction.

Dans une base rétrograde (ou indirecte), l'expression des coordonnées à l'aide du symbole de Levi-Civita est légèrement modifiée : il faut remplacer $\sqrt{g}$ par $-\sqrt{g}$. En introduisant le symbole $(-1{)}^B=\eta (B)/|\eta (B)|$ égal à 1 si la base est directe et -1 si la base est indirecte on a dans le cas général

${\eta }_{i_1\dots i_N}=(-1{)}^B\sqrt{g}{ϵ}_{i_1\dots i_N}$

et

${\eta }^{i_1\dots i_N}=(-1{)}^B\frac{1}{\sqrt{g}}{ϵ}^{i_1\dots i_N}$

Cas des espaces pseudo-euclidiens

Dans un espace pseudo-euclidien le déterminant du tenseur métrique n'est pas nécessairement positif. Par exemple dans le cas de l'espace de Minkowski (l'espace-temps quadridimensionnel de la relativité restreinte), le déterminant du tenseur métrique est négatif.

Les relations précédentes peuvent s'écrire, dans une base quelconque, sous une forme valable quel que soit le signe de $g$

${\eta }_{i_1\dots i_N}=(-1{)}^B\sqrt{|g|}{ϵ}_{i_1\dots i_N}$

et

${\eta }^{i_1\dots i_N}=(-1{)}^B\frac{\sqrt{|g|}}{g}{ϵ}^{i_1\dots i_N}$

Par la suite on utilisera le symbole $*$ à la place de la lettre grecque $\eta$.

Propriétés du tenseur dualiseur

Produit de tenseurs dualiseurs

Les formules suivantes découlent directement des formules obtenues avec le symbole de Levi-Civita d'ordre N. Le symbole ${\delta }_j^i$ est le symbole de Kronecker, représentant le tenseur unité. On se place dans le cas euclidien.

Résultat d'ordre 2

${*}^{k{i}_2\dots i_N}{*}_{l{i}_2\dots i_N}=(N-1)!\times {\delta }_l^k$

En effet, si k est différent de l il existe au moins deux indices égaux, soit dans le coefficient du premier tenseur, soit dans celui du second. Le coefficient correspondant est nul, ainsi que le produit. Si k est égal à l, les facteurs respectifs $(-1{)}^B\sqrt{g}$ et $(-1{)}^B\frac{1}{\sqrt{g}}$ apparaissant dans chacun des deux tenseurs se simplifient. Les symboles de Levi-Civita ${ϵ}^{k{i}_2\dots i_N}$ et ${ϵ}_{l{i}_2\dots i_N}$ prennent la même valeur 1 ou -1 dans les deux coefficients et leur produit vaut 1. Enfin, pour chaque valeur commune de k = l, il y a $(N-1)!$ choix possibles des indices $i_2,\dots ,i_N$.

Résultat d'ordre 4

${*}^{km{i}_3\dots i_N}{*}_{ln{i}_3\dots i_N}=(N-2)!\times ({\delta }_l^k{\delta }_n^m-{\delta }_n^k{\delta }_l^m)$

La démonstration est comparable au cas précédent, les seuls cas où l'on obtient un résultat non nul étant celui où k = l et m= n, pour lequel les symboles de Levi-Civita apparaissant dans les deux tenseurs sont de même signe, et le cas où k = n et l = m, pour lequel les symboles sont de signes contraires, d'où le signe - devant ${\delta }_n^k{\delta }_l^m$. Pour une paire {k, l} d'éléments distincts donnés, il existe $(N-2)!$ choix possibles des indices $i_3,\dots ,i_N$.

Nullité de la dérivée covariante du tenseur dualiseur

La dérivée covariante du tenseur dualiseur est nulle :

$D_j\left({*}^{i_1{i}_2\dots i_N}\right)=0$.

Définition de tenseurs duaux au sens de Hodge

Le produit du tenseur dualiseur avec un tenseur d'ordre $M$ dans un espace de dimension $N$ définit un tenseur d'ordre $N-M$, son dual au sens de Hodge.

${[*a]}^{i_1{i}_2\dots i_{N-M}}=\frac{1}{M!}{*}^{i_1{i}_2\dots i_N}{a}_{i_{N-M+1}\dots i_N}$

Le produit met ici arbitrairement en jeu les $M$ derniers indices du tenseur dualiseur. On aurait aussi bien pu prendre les $M$ premiers indices. Les deux conventions différent d'un signe - dans certains cas.

Exemple, tenseurs duaux en dimension 3 :

Un vecteur $b^k$ possède un tenseur antisymétrique dual :

${[*b]}_{ij}={*}_{ijk}{b}^k$.

Réciproquement, le dual d'un tenseur antisymétrique $a_{ij}$ est un vecteur :

${[*a]}^i=\frac{1}{2}\times {*}^{ijk}{a}_{jk}.$

Le dual du dual est le vecteur ou le tenseur antisymétrique lui-même. En effet, on a pour un vecteur :

${[**b]}^i=\frac{1}{2}{*}^{ijk}{[*b]}_{jk}=\frac{1}{2}{*}^{ijk}{*}_{jkl}{b}^l={\delta }_l^i{b}^l=b^i$.

et pour un tenseur antisymétrique :

${[**a]}_{ij}={*}_{ijk}{[*a]}^k=\frac{1}{2}{*}_{ijk}{*}^{klm}{a}_{lm}=\frac{1}{2}({\delta }_{ij}^{lm}-{\delta }_{ij}^{ml})a_{lm}=a_{ij}$.