Théorème d'interversion des limites

En topologie et en analyse, le théorème d'interversion des limites s'applique à une fonction d'un espace produit dans un espace complet.

Énoncé

Soient

• X et Y deux espaces topologiques,
• E un espace métrique complet,
• a un point adhérent dans X à une partie A,
• b un point adhérent dans Y à une partie B et
• f une application de A × B dans E.

On suppose qu'il existe des applications g : A → E et h : B → E telles que

1. $\underset{y\to b}{\lim }f(x,y)=g(x)$ uniformément sur A et
2. $\underset{x\to a}{\lim }f(x,y)=h(y)$ simplement sur B.

Alors f possède une limite au point (a, b) ; en particulier, les limites de h en b et de g en a existent et sont égales :

$\underset{y\to b}{\lim }(\underset{x\to a}{\lim }f(x,y))=\underset{(x,y)\to (a,b)}{\lim }f(x,y)=\underset{x\to a}{\lim }(\underset{y\to b}{\lim }f(x,y))$Modèle:,.

Corollaire

Le cas particulier B = ℕ, b = Modèle:Math et Y = ℕ ∪ {Modèle:Math} muni de la topologie de l'ordre ou de la topologie cofinie (pour lesquelles les voisinages Modèle:Math sont les mêmes) donne : Modèle:Énoncé