Transformation par polaires réciproques

En mathématiques, et plus précisément en géométrie, la transformation par polaires réciproques est une transformation associant à une courbe une autre courbe construite à l'aide des droites tangentes à la première. La courbe image s'appelle la courbe duale de la courbe de départ.

Définition

On considère une courbe plane Modèle:Math. La courbe polaire au point Modèle:Math de Modèle:Math par rapport à un cercle (C) (ou de cercle directeur (C)) est l'enveloppe des polaires des points de Modèle:Math par rapport à (C) ; c'est donc l'ensemble des pôles des tangentes à Modèle:Math par rapport à (C).

Equations

La polaire par rapport au cercle de centre O et de rayon Modèle:Mvar et un point Modèle:Math est la droite des points Modèle:Math tels que Modèle:Math.

Si Modèle:Math est le point courant d'une courbe Modèle:Math, le point courant Modèle:Math de la polaire de Modèle:Math est défini, en coordonnées cartésiennes, par

$\{\begin{array}{c}x(t)=\frac{r^2}{x_0(t){y_0}^{\prime }(t)-y_0(t){x_0}^{\prime }(t)}{y_0}^{\prime }(t)\\ y(t)=-\frac{r^2}{x_0(t){y_0}^{\prime }(t)-y_0(t){x_0}^{\prime }(t)}{x_0}^{\prime }(t)\end{array}$

soit, en coordonnées complexes :

$z(t)=2r^2\frac{{z_0}^{\prime }(t)}{{z_0}^{\prime }(t)\overline{z_0(t)}-z_0(t)\overline{{z_0}^{\prime }(t)}}.$

La « polarisation » échange donc les notions de point d'une courbe et de tangente à la courbe.

Polaire d'une conique

La polaire d'une conique par rapport à un cercle centré en un foyer de la conique est un cercle centré au pôle de la directrice.

Propriétés

• La transformation par polaires réciproques est une involution : la polaire d'une polaire par rapport au même cercle est égale à la courbe de départ.
• La polaire n'est pas à confondre avec la courbe inverse. D'ailleurs, l'inverse de la polaire par rapport au même cercle est la courbe podaire.
• La polaire d'une courbe algébrique est une courbe algébrique dont le degré est égal à la classe de la courbe de départ (c'est-à-dire le degré de l'équation tangentielle).

Exemples

Courbe de départ	Position du centre du cercle directeur par rapport à la courbe de départ	Position du centre du cercle directeur par rapport à la polaire	Polaire
Droite (polaire du point)	Hors de la droite	Différent du point	Point (pôle de la droite)
Conique			Conique
	Foyer de la conique		Cercle
	À l'intérieur de la conique (i.e. dans une région contenant un foyer)		Ellipse
	À l'extérieur de la conique		Hyperbole
	Sur la conique		Parabole
Cardioïde	Point de rebroussement	Foyer au 8/9Modèle:E du segment joignant le point double au sommet	Cubique de Tschirnhausen
	Centre du cercle conchoïdal	Foyer	Trisectrice de Maclaurin
Deltoïde	Centre	Sommet	Cubique duplicatrice
Astroïde	Centre	Centre	Cruciforme
Cycloïde à centre	Centre	Centre	Épi
Spirale sinusoïdale de paramètre Modèle:Mvar	Centre	Centre	Spirale sinusoïdale de paramètre Modèle:Math

Extensions aux surfaces tridimensionnelles

Le concept de polaire réciproque peut être étendu aux surfaces dans l'espace ; la surface transformée devient alors une autre surfaceModèle:,.

Voir aussi

• Théorème de Pascal
• Courbe duale

Références

• Modèle:Ouvrage ;
• Modèle:Ouvrage.