Cubique de Tschirnhausen

Cubique de Tschirnhausen, pour a=1

En géométrie, la cubique de Tschirnhausen est une courbe algébrique définie par l'équation polaire

$r=a{\sec }^3(\theta /3).$

(Modèle:Math est la fonction sécante, inverse du cosinus)

Histoire

Cette courbe fut étudiée par Ehrenfried Walther von Tschirnhaus, Guillaume de l'Hôpital et Eugène Catalan. Le nom de « cubique de Tschirnhausen » fut mentionné pour la première fois en 1900 par Raymond Clare Archibald, bien qu'elle soit parfois connue sous le nom de « cubique de L'Hôpital » ou « trisectrice de Catalan ».

Autres équations

Posons Modèle:Math. Selon la formule de De Moivre, cela donne :

$x=a\cos (\theta ){\sec }^3\left(\frac{\theta }{3}\right)=a[{\cos }^3\left(\frac{\theta }{3}\right)-3\cos \left(\frac{\theta }{3}\right){\sin }^2\left(\frac{\theta }{3}\right)]{\sec }^3\left(\frac{\theta }{3}\right)=a[1-3{\tan }^2\left(\frac{\theta }{3}\right)]=a(1-3t^2),$

$y=a\sin (\theta ){\sec }^3\left(\frac{\theta }{3}\right)=a[3{\cos }^2\left(\frac{\theta }{3}\right)\sin \left(\frac{\theta }{3}\right)-{\sin }^3\left(\frac{\theta }{3}\right)]{\sec }^3\left(\frac{\theta }{3}\right)=a[3\tan \left(\frac{\theta }{3}\right)-{\tan }^3\left(\frac{\theta }{3}\right)]=at(3-t^2).$

ce qui donne une équation paramétrique. Le paramètre Modèle:Mvar peut être facilement éliminé, ce qui donne l'équation cartésienne

$27a{y}^2=(a-x)(8a+x{)}^2$.

Si la courbe est translatée horizontalement de Modèle:Math, les équations deviennent

$x=3a(3-t^2),y=at(3-t^2)$

ou

$x^3=9a(x^2-3y^2)$,

ce qui donne la forme polaire

$r=9a\sec (\theta )(1-3{\tan }^2\theta )$.

Propriétés

Caustique

Caustique de parabole. Seuls les rayons réfléchis sont représentés. La direction des rayons incidents (non représentés) est donnée par celle de la tangente commune à la parabole et à la caustique, en noir. Les rayons réfléchis sur la gauche de la parabole proviennent d'une source à l'infini vers la droite, ceux réfléchis sur la droite de la parabole proviennent d'une source à l'infini vers la gauche.

Les caustiques de parabole, lorsque la source lumineuse est à l'infini, sont des cubiques de Tschirnhausen. Elle est réduite à un point, le foyer de la parabole, lorsque la direction de la source est l'axe de la parabole.

Voir aussi

Articles connexes

• Courbe algébrique
• Courbe cubique