Constantes de Stieltjes

Thomas Joannes Stieltjes.

En mathématiques, les constantes de Stieltjes (nommées d'après le mathématicien néerlandais Thomas Joannes Stieltjes) sont les nombres qui interviennent dans le développement en série de Laurent de la fonction zêta de Riemann : Modèle:Centrer

On démontre que chaque Modèle:Math est donné par une limite : Modèle:Centrer

${\gamma }_0=\gamma =0,577...$ est la constante d'Euler-Mascheroni.

Propriétés

En utilisant la formule intégrale de Cauchy on trouve : Modèle:Centrer

Et une comparaison série-intégrale montre que : Modèle:Centrer Cela dit, c'est un majorant d'une précision assez médiocre.

Matsuoka, en 1985, a montré que pour Modèle:Math, Modèle:Centrer On sait aussi qu'il y a asymptotiquement la moitié de ces nombres qui sont positifs.

Valeurs jusqu'à 15

Voici les quelques premières valeurs :

Valeurs approchées des coefficients de Stieltjes

	Valeur
$\gamma ={\gamma }_0$	0,Modèle:Unité
${\gamma }_1$	−0,0728158454836767300000000000000
${\gamma }_2$	−0,00969036319287232000000000000000
${\gamma }_3$	0,00205383442030334600000000000000
${\gamma }_4$	0,00232537006546730000000000000000
${\gamma }_5$	0,000793323817301062700000000000000
${\gamma }_6$	−0,000238769345430199600000000000000
${\gamma }_7$	−0,000527289567057751000000000000000
${\gamma }_8$	−0,000352123353803039500000000000000
${\gamma }_9$	−0,0000343947744180880500000000000000
${\gamma }_{10}$	0,000205332814909064800000000000000
${\gamma }_{11}$	0,000270184439543903500000000000000
${\gamma }_{12}$	0,000167272912105140200000000000000
${\gamma }_{13}$	−0,0000274638066037601580000000000000
${\gamma }_{14}$	−0,000209209262059299960000000000000
${\gamma }_{15}$	−0,000283468655320241400000000000000

Constantes de Stieltjes généralisées

Plus généralement, on définit les constantes Modèle:Math comme coefficients du développement en série de Laurent de la fonction zêta de Hurwitz :

$\zeta (s,a)=\frac{1}{s-1}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}{\gamma }_n(a)(s-1{)}^n.$

Une formule dite de réflexion, souvent attribuée à Almkvist et Meurman (qui l'ont découverte dans les années 1990), avait en fait été obtenue par Carl Johan Malmsten dès 1846 :

${\gamma }_1\left(\frac{m}{n}\right)-{\gamma }_1(1-\frac{m}{n})=2\pi \sum _{l=1}^{n-1}\sin \frac{2\pi ml}{n}\cdot \ln \mathrm{\Gamma }\left(\frac{l}{n}\right)-\pi (\gamma +\ln 2\pi n)\cot \frac{m\pi }{n}$

(m et n entiers positifs avec m < n).

Voir aussi

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