Hectogone

En géométrie, un hectogone ou hécatontagone est un polygone à 100 sommets, donc 100 côtés et Modèle:Unité.

La somme des angles internes d'un hectogone non croisé vaut Modèle:Unité.

Hectogones réguliers

Un hectogone régulier est un hectogone dont les côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a vingt : dix-neuf étoilés (notés {100/k} pour k impair de 3 à 49 sauf les multiples de 5) et un convexe (noté {100}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'hectogone régulier ».

Les vingt hectogones réguliers.

Représentation Symbole de Schläfli {100} {100/3} {100/7} {100/9} {100/11} Angle interne 176,4° 169,2° 154,8° 147,6° 140,4° Représentation Symbole de Schläfli {100/13} {100/17} {100/19} {100/21} {100/23} Angle interne 133,2° 118,8° 111,6° 104,4° 97,2° Représentation Symbole de Schläfli {100/27} {100/29} {100/31} {100/33} {100/37} Angle interne 82,8° 75,6° 68,4° 61,2° 46,8° Représentation Symbole de Schläfli {100/39} {100/41} {100/43} {100/47} {100/49} Angle interne 39,6° 32,4° 25,2° 10,8° 3,6°

Caractéristiques de l'hectogone régulier

Chacun des 100 angles au centre mesure $\frac{360^{\circ }}{100}=3,6^{\circ }$ et chaque angle interne mesure $\frac{17640^{\circ }}{100}=176,4^{\circ }$.

Si Modèle:Math est la longueur d'une arête :

• le périmètre vaut $P=100a$ ;
• l'aire vaut $A=25a^2\cot \left(\frac{\pi }{100}\right)$ ;
• l'apothème vaut $H=\frac{2A}{P}=\frac{a}{2}\cot \left(\frac{\pi }{100}\right)$ ;
• le rayon vaut $R=\frac{H}{\cos \left(\frac{\pi }{100}\right)}=\frac{a}{2\sin \left(\frac{\pi }{100}\right)}$.

L'hectogone est constructible à la règle et au compas.