Théorème de Stolz-Cesàro

En mathématiques, le théorème de Stolz-Cesàro établit une condition suffisante d'existence de limite d'une suite. Un cas particulier de cette version discrète de la règle de l'Hôpital est le lemme de Cesàro.

Son nom vient des mathématiciens Otto Stolz et Ernesto Cesàro.

Énoncé

Soient Modèle:Math et Modèle:Math deux suites réelles, se trouvant dans l'un des deux cas suivantsModèle:, :

• (cas Modèle:Math) : Modèle:Math strictement décroissante, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{u}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{v}_n=0$;
• (cas Modèle:Math) : Modèle:Math strictement croissante et $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{v}_n=+\mathrm{\infty }$.

L'énoncé reste vrai si Modèle:Math sont des nombres complexes ou, plus généralement, des éléments d'un espace vectoriel normé.

Reformulation

En posant Modèle:Math et Modèle:Math dans le cas Modèle:Math et Modèle:Math et Modèle:Math dans le cas 0/0, l'énoncé devient :

Exemples

Voici deux applications du cas Modèle:Math.

• Le lemme de Cesàro s'obtient en posant Modèle:Math.
• Soit Modèle:Math. Sachant queModèle:Retraiten posantModèle:Retraiton trouve :$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1^{\alpha -1}+2^{\alpha -1}+3^{\alpha -1}+\dots +n^{\alpha -1}}{n^{\alpha }}=\frac{1}{\alpha }.$(Pour Modèle:Math entier, il s'agit du coefficient dominant du polynôme de la formule de Faulhaber.)

Généralisations du cas Modèle:Math

• Soient Modèle:Math et Modèle:Math deux suites réelles, avec Modèle:Math et Modèle:Math. Alors, les limites inférieure et supérieure de Modèle:Math encadrent celles de la suite des quotients de sommes partielles des deux séries :$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{a_n}{b_n}\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{\sum _{k\le n}{a}_k}{\sum _{k\le n}{b}_k}\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\sum _{k\le n}{a}_k}{\sum _{k\le n}{b}_k}\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{a_n}{b_n}.$
• Soient Modèle:Math (Modèle:Math) des réels positifs tels que$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\sum _k{p}_{n,k}=1$et Modèle:Math la transformation linéaire sur les suites bornées définie par$t_n=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_{n,k}{s}_k.$Une condition nécessaire et suffisante pour que cette transformation soit régulière, c'est-à-dire pour qu'elle vérifie$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n=\ell \Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{t}_n=\ell (*)$est :$\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{p}_{n,k}=0.$Dans le cas triangulaire inférieur, c'est-à-dire lorsque Modèle:Math dès que Modèle:Math, la transformation s'étend aux suites non bornées, et si la condition de régularité est satisfaite alors l'implication (✻) est encore vraie pour Modèle:Math.