Sous-groupe de Hall

portrait de Philip Hall

En théorie des groupes (une branche des mathématiques), les sous-groupes de Hall d'un groupe fini sont les sous-groupes dont l'ordre et l'indice sont premiers entre eux. Ils portent le nom du mathématicien Philip Hall.

Définition

Soit $G$ un groupe fini. Un sous-groupe de $G$ est appelé un sous-groupe de Hall de $G$ si son ordre est premier avec son indice dans $G$. Autrement dit, un sous-groupe $H$ de $G$ est dit sous-groupe de Hall si $|H|$ est premier avec $\frac{|G|}{|H|}$. Cela revient encore à dire que pour tout diviseur premier p de $|H|$, la puissance à laquelle p figure dans $|H|$ est la même que celle à laquelle il figure dans $|G|$.

Propriétés

• Si $H$ est un sous-groupe de Hall normal de $G$ alors il est seul de son ordre parmi les sous-groupes de $G$ et est donc caractéristique dans $G$.

• Le fait ci-dessus a par exemple pour conséquence importante que le complément normal dont le théorème du complément normal de Burnside assure l'existence est non seulement normal mais caractéristique.
• P. Hall a prouvé que pour tout groupe fini $G$ :
  • si $G$ est résoluble alors, pour tous $m$ et $n$ premiers entre eux tels que $|G|=mn$Modèle:,Modèle:, :
    1. il existe au moins un sous-groupe d'ordre $m$,
    2. les sous-groupes d'ordre $m$ sont conjugués deux à deux,
    3. tout sous-groupe dont l'ordre divise $m$ est inclus dans l'un d'entre eux ;
  • une réciproque forte du point 1Modèle:, : pour que $G$ soit résoluble, il suffit qu'il possède un sous-groupe d'indice $p_i^{{\alpha }_i}$ pour chaque valeur de $i$, où $p_1^{{\alpha }_1}\dots p_r^{{\alpha }_r}$ désigne la décomposition en facteurs premiers de $|G|$.

Exemple

Parmi les diviseurs d de |G| tels que d soit premier avec |G|/d figurent en particulier les d = pⁿ, où p est un nombre premier et n l'entier maximum tel que pⁿ divise |G|. Les sous-groupes de Hall correspondants sont exactement les p-sous-groupes de Sylow de G. Hall étend donc à tous les diviseurs d de |G| tels que d soit premier avec |G|/d le théorème classique sur l'existence des p-sous-groupes de Sylow d'un groupe fini, mais seulement sous l'hypothèse supplémentaire que G est résoluble.

Voir aussi

Base de Sylow