Loi d'Erlang

La distribution d'Erlang est une loi de probabilité continue, dont l'intérêt est dû à sa relation avec les distributions exponentielle et Gamma. Cette distribution a été développée par Agner Krarup Erlang afin de modéliser le nombre d'appels téléphoniques simultanés.

Généralités

La distribution est continue et possède deux paramètres : le paramètre de forme $k$, un entier, et le paramètre d'intensité $\lambda$, un réel. On utilise parfois une paramétrisation alternative, où on considère plutôt le paramètre d'échelle $\theta =\frac{1}{\lambda }$.

Lorsque le paramètre de forme $k$ vaut 1, la distribution se simplifie en la loi exponentielle.

La distribution d'Erlang est un cas spécial de la loi Gamma, où le paramètre de forme $k$ est un entier. Dans la loi Gamma, ce paramètre est réel positif supérieur ou égal à 1.

Caractérisation

Densité de probabilité

La densité de probabilité de la distribution d'Erlang est

$f(x;k,\lambda )=\frac{{\lambda }^k{x}^{k-1}\exp (-\lambda x)}{(k-1)!}\text{pour }x>0.$

Le paramètre $k$ est le paramètre de forme, et $\lambda$ le paramètre d'intensité. Une paramétrisation équivalente met en jeu le paramètre d'échelle $\theta$, défini comme l'inverse de l'intensité (c'est-à-dire $\theta =1/\lambda$) :

$f(x;k,\theta )=\frac{x^{k-1}\exp (-\frac{x}{\theta })}{{\theta }^k(k-1)!}\text{pour }x>0.$

La présence de la factorielle implique que k doit être un entier naturel supérieur ou égal à 1. Mais la loi Gamma généralise la distribution d'Erlang où ce paramètre k est un réel quelconque positif supérieur ou égal à 1. L'expression de la fonction de densité de probabilité est obtenue en remplaçant $(k-1)!$ par $\mathrm{\Gamma }(k)$, qui la valeur prise par la fonction gamma en k.

Fonction de répartition

La fonction de répartition de la distribution d'Erlang est

$F(x;k,\lambda )=\frac{\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}$

où $\gamma ()$ est la fonction gamma incomplète. Cette fonction peut aussi s'écrire :

$F(x;k,\lambda )=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda x}\sum _{n=0}^{k-1}\frac{(\lambda x{)}^n}{n!}$

Occurrences

Processus de renouvellement

La distribution d'Erlang est la distribution de la somme de k variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Si chacune de ces variables aléatoires $X_i$ représente le temps au bout duquel un événement donné se produit (par exemple, une intervention à la suite d'une panne sur un appareil sans usure et sans mémoire), alors la variable aléatoire $T_k=X_1+\dots +X_k$ au bout duquel le k-ème événement a lieu suit une loi d'Erlang de forme k et de paramètre $\lambda$.

Processus de Poisson

Modèle:Article détaillé Si l'on se donne un instant t, on montre que la variable aléatoire $N_t$ égale au nombre d'entiers k tels que $T_k\le t$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda t$. Dans l'interprétation ci-dessus, $N_t$ est le nombre d'interventions effectuées avant l'instant t.

Voir aussi

• Processus de Poisson
• Loi binomiale négative : cette loi est l'analogue de la loi d'Erlang dans le cas discret.

Liens externes

• Erlang Distribution
• An Introduction to Erlang B and Erlang C by Ian Angus Modèle:Pdf
• Resource Dimensioning Using Erlang-B and Erlang-C
• Erlang-C