Opérateur retard

En l'analyse des séries temporelles, l'opérateur retard, noté L (ou B quelquefois), est l'opérateur qui, à tout élément d'une série temporelle, associe l'observation précédente.

Généralisations

Pour un décalage de plusieurs unités, on utilise plusieurs fois de suite cet opérateur, ce que l'on note L élevé à une certaine puissance (l'exposant doit s'entendre au sens de la composition). Ainsi

$L^k{X}_t=X_{t-k}.$

Une généralisation est de décaler non-plus dans le passé mais dans le futur, par un exposant négatif. Par exemple, on pose

$L^{-1}{X}_t=X_{t+1}$.

Polynôme retard

On peut combiner les propriétés précédentes pour former un polynôme retard, appelé encore polynôme caractéristique. Ce genre de polynôme est utilisé pour simplifier l'écriture des modèles de classe ARMA (autorégressifs et moyenne mobile). Par exemple, pour le modèle AR(1):

$X_t=c+\phi X_{t-1}+{\epsilon }_t\Rightarrow (1-\phi L)X_t=c+{\epsilon }_t$

Et pour le modèle AR(p)

$X_t=\sum _{i=1}^p{\phi }_i{X}_{t-i}+{\epsilon }_t\Rightarrow (1-{\phi }_1{L}^1-{\phi }_2{L}^2-\dots -{\phi }_p{L}^p)X_t=(1-\sum _{i=1}^p{\phi }_i{L}^i)X_t={\epsilon }_t$

Cela permet d'avoir une notation très concise d'un modèle ARMA(p,q):

$\mathrm{\Phi }{X}_t=\mathrm{\Theta }{\epsilon }_t$

où Φ et Θ représentent les polynômes retard associés aux composantes autorégressives (AR) et en moyenne mobile (MA):

$\mathrm{\Phi }=1-\sum _{i=1}^p{\phi }_i{L}^i$

et

$\mathrm{\Theta }=1+\sum _{i=1}^q{\theta }_i{L}^i.$

équation caractéristique

L'équation caractéristique se trouve très facilement depuis le polynôme caractéristique en substituant à l'opérateur des retards L la variable x. Pour le modèle AR(p): $(1-{\phi }_1{L}^1-{\phi }_2{L}^2-\dots -{\phi }_p{L}^p)$ devient $(1-{\phi }_1{x}^1-{\phi }_2{x}^2-\dots -{\phi }_p{x}^p)$.

L'équation caractéristique est utilisée notamment pour vérifier la stationnarité et l'invertibilité d'un processus ARMA.

Opérateur de différence

L'opérateur de différence première $\mathrm{\Delta }$ est un polynôme retard spécial:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }{X}_t& =X_t-X_{t-1}\\ \mathrm{\Delta }{X}_t& =(1-L)X_t\end{array}$

De manière similaire, l'opérateur de différence seconde est

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }(\mathrm{\Delta }{X}_t)& =\mathrm{\Delta }{X}_t-\mathrm{\Delta }{X}_{t-1}\\ \mathrm{\Delta }(\mathrm{\Delta }{X}_t)& =X_t-2X_{t-1}+X_{t-2}\\ {\mathrm{\Delta }}^2{X}_t& =(1-L)\mathrm{\Delta }{X}_t\\ {\mathrm{\Delta }}^2{X}_t& =(1-L)(1-L)X_t\\ {\mathrm{\Delta }}^2{X}_t& =(1-L{)}^2{X}_t\end{array}$

L'approche précédente se généralise à la i-ème différence ${\mathrm{\Delta }}^i{X}_t=(1-L{)}^i{X}_t$

Voir aussi

• modèle autorégressif (AR);
• modèle moyenne-mobile (MA);
• modèle autorégressif moyenne-mobile (ARMA);
• Transformée en Z.