Conjecture de Goormaghtigh
En mathématiques, la conjecture de Goormaghtigh est une conjecture en théorie des nombres nommée ainsi en hommage au mathématicien belge Modèle:Lien. Elle affirme que les seules solutions non triviales à l'équation diophantienne
- avec x, y > 1 et n, m > 2
sont (x, y, m, n) = (5, 2, 3, 5) et (x, y, m, n) = (90, 2, 3, 13).
À la suite de cette conjecture, il apparaît que 31 et 8191 sont les deux seuls nombres premiers à être brésiliens dans deux bases différentes.
La première solution donne : 31 = 111112 = 1115 et,
la seconde : 8191 = 11111111111112 = 11190, où 11111111111 est le répunit constitué de treize fois le chiffre 1.