Écart moyen

En statistique, et en probabilités, l'écart moyen est une mesure de la dispersion autour de la moyenneModèle:Référence nécessaire.

En statistique

Il se calcule ainsi :

• dans le cas d'une série discrète non triée, écart moyen = $\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n|x_i-\overline{x}|$ ;
• dans le cas d'une série discrète regroupée, écart moyen = $\frac{\sum _{i=1}^n{n}_i|x_i-\overline{x}|}{\sum _{i=1}^n{n}_i}=\sum _{i=1}^n{f}_i|x_i-\overline{x}|$ ;
• dans le cas d'une série continue, écart moyen = $\frac{\sum _{i=1}^n{n}_i|m_i-\overline{x}|}{\sum _{i=1}^n{n}_i}=\sum _{i=1}^n{f}_i|m_i-\overline{x}|$.

En probabilités

Définition

Pour une variable aléatoire réelle $X$, l'écart moyen est la moyenne des écarts (absolus) à la moyenne : $\mathbf{\text{EM}}(X)=𝔼(|X-𝔼(X)|)$.

On précise parfois écart moyen absoluModèle:Référence nécessaire, pour le différentier de l'écart moyen algébrique $𝔼(X-𝔼(X))$, lequel est nul.

Exemples

• Si $X$ suit une loi binomiale $B(2n,1/2)$, $\mathbf{\text{EM}}(X)=𝔼(|X-n|)=n\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}{2^{2n}}\sim \sqrt{\frac{n}{\pi }}$.
• Si $X$ suit une loi normale $𝒩(\mu ,{\sigma }^2)$, $\mathbf{\text{EM}}(X)=𝔼(|X-\mu |)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\sigma$.
• Si $X$ suit une loi géométrique de paramètre 1/2, $\mathbf{\text{EM}}(X)=𝔼(|X-2|)=1$.

Comparaison avec l'écart-type

L'écart moyen a une définition plus naturelle que l'écart-type $\sigma (X)=\sqrt{𝔼\left({(X-𝔼(X))}^2\right)}$, mais il est Modèle:En quoi en général.

D'après l'inégalité de Jensen, l'écart moyen est inférieur ou égal à l'écart type.

Articles connexes

• Critères de dispersion
• Écart-type
• Valeur absolue des écarts