Équation aux différences

Modèle:Confusion Modèle:Article court En mathématiques, une équation aux différences est l'analogue d'une équation différentielle, où les dérivées sont remplacées par des opérateurs de différence finie.

Fonctions d'une variable

À l'aide de l'opérateur :

$\mathrm{\Delta }:a_n\mapsto a_{n+1}-a_n$

et de ses puissances :

${\mathrm{\Delta }}^2:a_n\mapsto a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n$Modèle:Etc.,

des dérivées comme $\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}$ et $\frac{{\mathrm{d}}^{2}T}{\mathrm{d}{t}^2}$ sont remplacées par $\frac{\mathrm{\Delta }{T}_n}{\mathrm{\Delta }{t}_n}$ et $\frac{{\mathrm{\Delta }}^2{T}_n}{(\mathrm{\Delta }{t}_n{)}^2}$, où l'on prend généralement $\mathrm{\Delta }{t}_n$ constant (noté simplement $\mathrm{\Delta }t$).

Fonctions de plusieurs variables

De manière similaire, une équation aux dérivées partielles comme :

$\frac{\partial T}{\partial t}=\kappa \frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}$,

portant sur la fonction inconnue $T(x,t)$, est remplacée par l'équation aux différences :

$\frac{T_{m,n+1}-T_{m,n}}{\mathrm{\Delta }t}=\kappa \frac{T_{m+2,n}-2T_{m+1,n}+T_{m,n}}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}$,

qui porte sur les éléments $T_{m,n}$ d'une double suite (dans l'espace et dans le temps).

Bibliographie

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