Équation de Liouville – Bratu – Gelfand

Modèle:Autre4 En analyse, l'équation de Liouville – Bratu – Gelfand est une équation de Poisson non linéaire dont le nom vient de celui des mathématiciens Joseph Liouville, Gheorghe Bratu et Israel Gelfand. Cette équation s'écrit :

${\mathrm{\nabla }}^2\psi +\lambda e^{\psi }=0$

L'équation apparaît dans la théorie de Frank-Kamenetskii en combustion, en astrophysique avec l'équation de Emden-Chandrasekhar. Elle décrit également la charge d'espace autour d'un fil incandescent ou les nébuleuses planétaires.

La solution de Liouville

En deux dimensions et en coordonnées cartésiennes $(x,y)$ Joseph Liouville a proposé en 1853 la solution suivante :

$\lambda e^{\psi }(u^2+v^2+1{)}^2=2[{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)}^2]$

où $f(z)=u+iv$ est une fonction analytique arbitraire avec $z=x+iy$.

En 1915, G. W. Walker a trouvé une solution en supposant une forme pour $f(z)$. Si on définit la quantité $r$ par $r^2=x^2+y^2$, alors la solution de Walker est :

$8e^{-\psi }=\lambda {[{\left(\frac{r}{a}\right)}^n+{\left(\frac{a}{r}\right)}^n]}^2$

où $a$ est un rayon fini. Cette solution décroît à l'infini pour tout $n$ mais devient infinie à l'origine pour $n<1$. Elle est finie à l'origine pour $n=1$ et s'annule pour $n>1$. Walker a également proposé deux autres solutions dans son article de 1915.

Formes à symétrie radiale

Si le système à étudier est à symétrie radiale, alors l'équation en dimension $n$ devient :

${\psi }^{″}+\frac{n-1}{r}{\psi }^{\prime }+\lambda e^{\psi }=0$

où $r$ est la distance par rapport à l'origine. Avec les conditions aux limites ${\psi }^{\prime }(0)=0$ et pour $\lambda \ge 0$ une solution réelle n'existe que pour $\lambda \in [0,{\lambda }_c]$, où ${\lambda }_c$ est le paramètre critique appelé paramètre de Frank-Kamenetskii. Le paramètre critique est ${\lambda }_c=0,8785$ pour $n=1$, ${\lambda }_c=2$ pour $n=2$ et ${\lambda }_c=3.32$ pour $n=3$. Pour $n=1$ ou $2$ deux solutions existent et pour $3\le n\le 9$ il existe une infinité de solutions oscillant autour du point $\lambda =2(n-2)$. Pour $n\ge 10$ la solution est unique et le paramètre critique est donné par ${\lambda }_c=2(n-2)$. La multiplicité de solutions pour $n=3$ a été découverte par Israel Gelfand en 1963 et plus tard généralisée pour tout $n$ par Daniel D. Joseph et Thomas S. Lundgren en 1973.

• La solution pour $n=1$ qui est valide dans la plage $\lambda \in [0,0.8785]$ est donnée par :

$\psi =-2\ln [e^{-{\psi }_m/2}\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda }}{\sqrt{2}}{e}^{-{\psi }_m/2}r\right)]$

où ${\psi }_m=\psi (0)$ est lié à $\lambda$ par :

$e^{{\psi }_m/2}=\cosh \left(\frac{\sqrt{\lambda }}{\sqrt{2}}{e}^{-{\psi }_m/2}\right)$

• La solution pour $n=2$ qui est valide dans la plage $\lambda \in [0,2]$ est donné par

$\psi =\ln \left[\frac{64e^{{\psi }_m}}{(\lambda e^{{\psi }_m}{r}^2+8{)}^2}\right]$

où ${\psi }_m=\psi (0)$ est lié à $\lambda$ par :

$(\lambda e^{{\psi }_m}+8{)}^2-64e^{{\psi }_m}=0$

• Il n'existe pas de solution analytique pour $n=3$.