Équation de Pauli

Modèle:Ébauche L'équation de Pauli est une équation non relativiste de la mécanique quantique qui correspond à celle de Schrödinger pour les particules de spin 1/2 dans un champ électromagnétique.

En 1927, Wolfgang Pauli a postulé cette équation comme étant l'équation de l'électron, puis, en 1928, elle a été démontrée par Paul Dirac comme approximation non relativiste de son équation. En 1969, Jean-Marc Lévy-Leblond l'a redémontrée en linéarisant l'équation de Schrödinger.

Formulation

En notant :

• $\mathrm{\Psi }(t,\overrightarrow{r})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathrm{\Psi }}_{+}}{{\mathrm{\Psi }}_{-}})$ la fonction d'état de la particule, où ${\mathrm{\Psi }}_{\pm }$ est l'amplitude de probabilité d'observer le spin $\pm 1/2$,
• $q$ la charge de la particule, $m$ sa masse,
• $𝔸=(U(\overrightarrow{r},t),\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t))$ le quadripotentiel du champ électromagnétique ambiant, $\overrightarrow{B}=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A}$ le champ magnétique,
• $\overrightarrow{\sigma }=({\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3)$ le vecteur des matrices de Pauli.

L'équation de Pauli est :

$i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r},t)}{\partial t}=(\frac{1}{2m}{(\overrightarrow{P}+q\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t))}^2+qU(\overrightarrow{r},t)-\frac{q\hslash }{2m}\overrightarrow{\sigma }.\overrightarrow{B}(\overrightarrow{r},t))\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r},t)$

De l'expression précédente se déduit l'Hamiltonien de Pauli:

$H=\frac{1}{2m}{(\overrightarrow{\sigma }.[\overrightarrow{P}-q\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)])}^2+qU(\overrightarrow{r},t)$

Modèle:Démonstration/début On rappelle que: $\overrightarrow{\sigma }.\overrightarrow{B}=\overrightarrow{\sigma }.(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{A})={\sigma }_x[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{A}{]}_x+{\sigma }_y[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{A}{]}_y+{\sigma }_z[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{A}{]}_z$

Avec les matrices de Pauli: ${\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right){\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right){\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

Le rotationnel a pour expression: $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{A}=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\nabla }}_y{A}_z-{\mathrm{\nabla }}_z{A}_y\\ {\mathrm{\nabla }}_z{A}_x-{\mathrm{\nabla }}_x{A}_z\\ {\mathrm{\nabla }}_x{A}_y-{\mathrm{\nabla }}_y{A}_x\end{array}\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{\sigma }.\overrightarrow{B}=\left(\begin{array}{cc}(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{A}{)}_z& (\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{A}{)}_x-i(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{A}{)}_y\\ (\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{A}{)}_x+i(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{A}{)}_y& -(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{A}{)}_z\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{\nabla }}_x{A}_y-{\mathrm{\nabla }}_y{A}_x& {\mathrm{\nabla }}_y{A}_z-{\mathrm{\nabla }}_z{A}_y-i({\mathrm{\nabla }}_z{A}_x-{\mathrm{\nabla }}_x{A}_z)\\ {\mathrm{\nabla }}_y{A}_z-{\mathrm{\nabla }}_z{A}_y+i({\mathrm{\nabla }}_z{A}_x-{\mathrm{\nabla }}_x{A}_z)& -{\mathrm{\nabla }}_x{A}_y+{\mathrm{\nabla }}_y{A}_x\end{array}\right)$

En appliquant cet opérateur au spineur $[\psi ](\overrightarrow{r})=\left(\begin{array}{c}{\psi }_{+}(\overrightarrow{r})\\ {\psi }_{-}(\overrightarrow{r})\end{array}\right)$ on obtient:

♦ Pour le terme $[\overrightarrow{\sigma }.\overrightarrow{B}{]}_{11}:$

$({\mathrm{\nabla }}_x{A}_y-{\mathrm{\nabla }}_y{A}_x){\psi }_{+}={\mathrm{\nabla }}_x{A}_y{\psi }_{+}-{\mathrm{\nabla }}_y{A}_x{\psi }_{+}$

$={\mathrm{\nabla }}_x(A_y{\psi }_{+})-A_y{\mathrm{\nabla }}_x{\psi }_{+}-{\mathrm{\nabla }}_y(A_x{\psi }_{+})+A_x{\mathrm{\nabla }}_y{\psi }_{+}$

$=[{\mathrm{\nabla }}_x{A}_y-{\mathrm{\nabla }}_y{A}_x+A_x{\mathrm{\nabla }}_y-A_y{\mathrm{\nabla }}_x]{\psi }_{+}=[[\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{A}{]}_z+[\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{]}_z]{\psi }_{+}$

♦ Pour le terme $[\overrightarrow{\sigma }.\overrightarrow{B}{]}_{12}:$

${\mathrm{\nabla }}_y{A}_z{\psi }_{-}-{\mathrm{\nabla }}_z{A}_y{\psi }_{-}-i({\mathrm{\nabla }}_z{A}_x{\psi }_{-}-{\mathrm{\nabla }}_x{A}_z{\psi }_{-})=:{\mathrm{\nabla }}_y(A_z{\psi }_{-})-A_z{\mathrm{\nabla }}_y{\psi }_{-}-{\mathrm{\nabla }}_z(A_y{\psi }_{-})$

$+A_y{\mathrm{\nabla }}_z{\psi }_{-}-i({\mathrm{\nabla }}_z(A_x{\psi }_{-})-A_x{\mathrm{\nabla }}_z{\psi }_{-}{\mathrm{\nabla }}_x(A_z{\psi }_{-})+A_z{\mathrm{\nabla }}_x{\psi }_{-})$

$=[(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{A}{)}_x+(\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{)}_x]{\psi }_{-}-i[(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{A}{)}_y+(\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{)}_y]{\psi }_{-}$

Ce qui permet de conclure: $\overrightarrow{\sigma }.\overrightarrow{B}=\overrightarrow{\sigma }(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{A})+\overrightarrow{\sigma }(\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{\mathrm{\nabla }})$

On rappellera:$\overrightarrow{P}=\frac{\hslash }{i}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\Rightarrow$ $\overrightarrow{\sigma }.\overrightarrow{B}=\frac{i}{q\hslash }.\overrightarrow{\sigma }[(\overrightarrow{P}\times q\overrightarrow{A})+(q\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{P})]=-\frac{i}{q\hslash }.\overrightarrow{\sigma }[(\overrightarrow{P}-q\overrightarrow{A})\times (\overrightarrow{P}-q\overrightarrow{A})]$

On rappelle la relation, avec $\overrightarrow{M},\overrightarrow{N}$ deux opérateurs quelconques et I l'opérateur unitaire:

$(\overrightarrow{\sigma }.\overrightarrow{M})(\overrightarrow{\sigma }.\overrightarrow{N})=\overrightarrow{M}.\overrightarrow{N}I+i\overrightarrow{\sigma }(\overrightarrow{M}\times \overrightarrow{N})$

$\Rightarrow i\overrightarrow{\sigma }[(\overrightarrow{P}-q\overrightarrow{A})\times (\overrightarrow{P}-q\overrightarrow{A})]=(\overrightarrow{\sigma }.(\overrightarrow{P}-q\overrightarrow{A}){)}^2-(\overrightarrow{P}-q\overrightarrow{A}{)}^{2}I$

$\Rightarrow \overrightarrow{\sigma }\overrightarrow{B}=-\frac{1}{q\hslash }[\overrightarrow{\sigma }(\overrightarrow{P}-q\overrightarrow{A}){]}^2+\frac{1}{q\hslash }[\overrightarrow{P}-q\overrightarrow{A}{]}^{2}I$

Il vient alors:

$H=\frac{1}{2m}[\overrightarrow{P}-q\overrightarrow{A}{]}^2+qU-\frac{q\hslash }{2m}\overrightarrow{\sigma }.\overrightarrow{B}$

$=\frac{1}{2m}[\overrightarrow{P}-q\overrightarrow{A}{]}^2+qU+\frac{1}{2m}[\overrightarrow{\sigma }(\overrightarrow{P}-q\overrightarrow{A}){]}^2-\frac{1}{2m}[\overrightarrow{P}-q\overrightarrow{A}{]}^{2}I$

$=\frac{1}{2m}[\overrightarrow{\sigma }(\overrightarrow{P}-q\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)){]}^2+qU(\overrightarrow{r},t)$

Bibliographie

• Modèle:Landau.