Équation de Ponce

En géométrie différentielle, l'équation de Ponce donne l'équation du cercle osculateur à une courbe en un point quand la courbe est le graphe d'une fonction sous certaines conditions.

Plus précisement, soit une fonction $f:I\subset ℝ⟶ℝ$. Son graphe ${𝒢}_f:=\{(x,f(x))|x\in I\}$ décrit une courbe. Si la fonction $f$ admet une dérivée seconde non-nulle en un point $t\in I$ alors l'équation du cercle osculateur est donné par l'équation de Ponce:

$(x-t+\frac{(1+f^{\prime }(t{)}^2{)}^2}{f^{″}(t)}{f}^{\prime }(t){)}^2+(y-f(t)-\frac{(1+f^{\prime }(t{)}^2{)}^2}{f^{″}(t)}{)}^2=\frac{(1+f^{\prime }(t{)}^2{)}^5}{f^{″}(t{)}^2}$.

Ou si l'on note $\alpha =\frac{(1+f^{\prime }(t{)}^2{)}^2}{f^{″}(t)}$:

$(x-t+\alpha f^{\prime }(t){)}^2+(y-f(t)-\alpha {)}^2={\alpha }^{\frac{5}{2}}\sqrt{f^{″}(t)}$.

Exemples

1. L'équation du cercle osculateur en $(t,f(t))$ pour $t=0$ et $f(x)=x^2$ est $x^2+(y-\frac{1}{2}{)}^2=\frac{1}{4}$.
2. L'équation du cercle osculateur en $(t,f(t))$ pour $t=\frac{k\pi }{2}$ avec $k\in 2\mathbb{Z}+1$ et $f(x)=\sin (x)$ est $(x-\frac{k\pi }{2}{)}^2+y^2=1$.

Références

https://www.overleaf.com/read/dffbxpvkkhrg