Équation de Schwinger-Dyson

L’équation de Schwinger-Dyson, d'après Julian Schwinger et Freeman Dyson, est une équation de la théorie quantique des champs.

Dérivation

Étant donné une fonction bornée F sur les configurations du champ, alors pour tout vecteur d'état $|\psi >$ (qui est solution de la théorie quantique des champs), il y a :

$⟨\psi \left|𝒯\{\frac{\delta }{\delta \varphi }F[\varphi ]\}\right|\psi ⟩=-i⟨\psi \left|𝒯\{F[\varphi ]\frac{\delta }{\delta \varphi }S[\varphi ]\}\right|\psi ⟩$

avec S la fonctionnelle d'action et $𝒯$ l'opérateur d'ordonnation du temps.

D'une même manière, dans la formulation de la matrice densité, pour tout état (valide) $\rho$, il y a :

$\rho \left(𝒯\{\frac{\delta }{\delta \varphi }F[\varphi ]\}\right)=-i\rho \left(𝒯\{F[\varphi ]\frac{\delta }{\delta \varphi }S[\varphi ]\}\right)$

Cet ensemble infini d'équations peut être utilisé pour résoudre les fonctions de corrélation, sans utiliser une approche perturbative.

On peut également réduire l'action S en la séparant :

$S[\varphi ]=\frac{1}{2}{D}_{ij}^{-1}{\varphi }^i{\varphi }^j+S_{int}[\varphi ]$

Le premier terme est la composante quadratique et $D^{-1}$ un tenseur covariant symétrique et réversible (antisymétrique pour les fermions) de rang 2 dans la notation de deWitt. Les équations peuvent être réécrites ainsi :

$⟨\psi |𝒯\{F{\varphi }^j\}|\psi ⟩=⟨\psi |𝒯\{i{F}_{,i}{D}^{ij}-F{S}_{int,i}{D}^{ij}\}|\psi ⟩$

Si F est une fonctionnelle de φ, alors pour un opérateur K, F[K] est définie comme un opérateur qui remplace K par φ. Par exemple, si

$F[\varphi ]=\frac{{\partial }^{k_1}}{\partial x_1^{k_1}}\varphi (x_1)\cdots \frac{{\partial }^{k_n}}{\partial x_n^{k_n}}\varphi (x_n)$

et que G est une fonction de J, alors :

$F[-i\frac{\delta }{\delta J}]G[J]=(-i{)}^n\frac{{\partial }^{k_1}}{\partial x_1^{k_1}}\frac{\delta }{\delta J(x_1)}\cdots \frac{{\partial }^{k_n}}{\partial x_n^{k_n}}\frac{\delta }{\delta J(x_n)}G[J]$.

S'il y a une fonction analytique Z (appelée fonctionnelle génératrice) de J (appelée champ source) satisfaisant l'équation :

$\frac{{\delta }^{n}Z}{\delta J(x_1)\cdots \delta J(x_n)}[0]=i^{n}Z[0]⟨\varphi (x_1)\cdots \varphi (x_n)⟩$,

alors l'équation de Schwinger-Dyson pour la génératrice Z est :

$\frac{\delta S}{\delta \varphi (x)}[-i\frac{\delta }{\delta J}]Z[J]+J(x)Z[J]=0$

En développant cette équation en série de Taylor pour J proche de 0, le jeu entier des équations de Schwinger-Dyson est obtenu.

Un example: φ⁴

Pour donner un example, supposons

$S[\phi ]=\int d^{d}x(\frac{1}{2}{\partial }^{\mu }\phi (x){\partial }_{\mu }\phi (x)-\frac{1}{2}{m}^2\phi (x{)}^2-\frac{\lambda }{4!}\phi (x{)}^4)$

pour un champ réel  φ.

Alors,

$\frac{\delta S}{\delta \phi (x)}=-{\partial }_{\mu }{\partial }^{\mu }\phi (x)-m^2\phi (x)-\frac{\lambda }{3!}{\phi }^3(x).$

L'équation de Schwinger–Dyson pour cet exemple particulier est donc :

$i{\partial }_{\mu }{\partial }^{\mu }\frac{\delta }{\delta J(x)}Z[J]+i{m}^2\frac{\delta }{\delta J(x)}Z[J]-\frac{i\lambda }{3!}\frac{{\delta }^3}{\delta J(x{)}^3}Z[J]+J(x)Z[J]=0$

Il est à noté que

$\frac{{\delta }^3}{\delta J(x{)}^3}$

n'est pas correctement défini car

$\frac{{\delta }^3}{\delta J(x_1)\delta J(x_2)\delta J(x_3)}Z[J]$

est une distribution en :x₁, x₂ and x₃, cette equation doit être regularisée.

Dans cet exemple, le propagateur nu D est la fonction de Green pour $-{\partial }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m^2$ et donc, le set d'équation de Schwinger–Dyson donne

$\begin{array}{cc}& ⟨\psi \mid 𝒯\{\phi (x_0)\phi (x_1)\}\mid \psi ⟩\\ =& iD(x_0,x_1)+\frac{\lambda }{3!}\int d^d{x}_{2}D(x_0,x_2)⟨\psi \mid 𝒯\{\phi (x_1)\phi (x_2)\phi (x_2)\phi (x_2)\}\mid \psi ⟩\end{array}$

et

$\begin{array}{cc}& ⟨\psi \mid 𝒯\{\phi (x_0)\phi (x_1)\phi (x_2)\phi (x_3)\}\mid \psi ⟩\\ =& iD(x_0,x_1)⟨\psi \mid 𝒯\{\phi (x_2)\phi (x_3)\}\mid \psi ⟩+iD(x_0,x_2)⟨\psi \mid 𝒯\{\phi (x_1)\phi (x_3)\}\mid \psi ⟩\\ & +iD(x_0,x_3)⟨\psi \mid 𝒯\{\phi (x_1)\phi (x_2)\}\mid \psi ⟩\\ & +\frac{\lambda }{3!}\int d^d{x}_{4}D(x_0,x_4)⟨\psi \mid 𝒯\{\phi (x_1)\phi (x_2)\phi (x_3)\phi (x_4)\phi (x_4)\phi (x_4)\}\mid \psi ⟩\end{array}$

etc.

(A moins qu'il n'y ait Brisure spontanée de symétrie, les fonctions de correlations impaires sont nulles.)