Équation de la vitesse des courants ascendants dans un nuage convectif

L’équation de la vitesse des courants ascendants dans un nuage convectif décrit la grandeur du mouvement vertical dans ces nuages dû à l'instabilité de l'air et à la différence de pression entre une parcelle d'air et l'environnement. Le développement de l'équation est basé sur l'ouvrage de William Cotton et ses collaborateurs.

Il est souvent dit qu'une parcelle d'air va s'élever si celle-ci est plus chaude que l'air environnant. Cependant, ce modèle est insuffisant car il ignore l'effet d'un déficit de pression qui peut être important sous un cumulonimbus supercellulaire. Ainsi l'équation du mouvement de la parcelle d'air est séparée en 2 termes. Le premier terme correspond à la poussée d'Archimède et le deuxième terme correspond au déficit de pression (voir infra).

Ainsi, le deuxième terme dans l'équation infra est souvent ignoré dans la description du mouvement vertical mais il peut être important dans un nuage comme un cumulonimbus où même une parcelle d'air plus froide que l'air environnant va être aspirée par un déficit de pression en altitude. Le déficit de pression peut atteindre Modèle:Unité (ou plus) et ce déficit peut être suffisant pour contrecarrer la flottabilité négative, aussi connue comme énergie d'inhibition de la convection. Dans un cas extrême en Oklahoma, le déficit de pression a atteint Modèle:Unité, l'orage ayant engendré de la très grosse grêle, une tornade et des tubas. Lorsque le premier terme de l'équation infra est dominant (ascendance thermique), de très fortes turbulences se produisent, ce en particulier en altitude. Lorsque le second terme domine (ascendance dynamique), les ascendances sont laminaires, ce en particulier près du sol. Celles-ci peuvent piéger un aéronef, en particulier un planeur, le pilote ne réalisant pas qu'il est pris dans un dangereux courant ascendant.

« Anomalies » associées aux cumulonimbus

Peu de pilotes de planeurs savent que les ascendances sous un cumulonimbus sont souvent d'origine dynamique, et ne comprennent pas les « anomalies » énoncées infra.

Ascendances modérées et douces

Il est souvent dit que les ascendances associées aux cumulonimbus sont presque toujours turbulentes au point qu'elles peuvent entraîner une dislocation de l'aéronef. Cependant, les ascendances sous les cumulonimbus sont en général douces et laminairesModèle:,Modèle:,, ce qui semble être en totale contradiction avec ce qui a été affirmé auparavant. Cependant, la contradiction n'est qu'apparente car en fait l'air sous le cumulonimbus est plus froid que l'air environnant. Donc l'ascendance est dynamique; les ascendances dynamiques étant en général laminaires. Cependant, la turbulence est souvent de très forte à extrême en altitude (vers les Modèle:Unité) car à ce niveau les parcelles d'air sont plus chaudes que l'air environnant (indice de soulèvement négatif); de plus il se produit un changement de phase de l'état liquide à l'état solide des gouttelettes d'eau qui libère de la chaleur latente.

Observation des anomalies de température

Il a été observé que sous un cumulonimbus, la masse d'air ascendante peut être plus froide que l'air environnant de Modèle:Unité et que par conséquent l'ascendance au niveau du sol n'est pas toujours d'origine thermique mais souvent dynamique. Cette observation est contre-intuitive et est peu connue de la part des pilotes de planeur qui ont encore en mémoire la notion du Thermal index. Cette dernière notion est basée sur l'hypothèse incorrecte que l'air dans la colonne ascendante est plus chaud que l'air environnant dans toute la colonne. L'équation basée simplement sur la poussée d'Archimède est donc insuffisante pour modéliser les ascendances et doit être complétée en tenant compte des différences de pression qui permettent le déclenchement de la convection par soulèvement.

Expression de la formule donnant l'accélération verticale

Dans ce qui suit nous donnons deux expressions donnant l'accélération d'une parcelle d'air sous et dans un nuage convectif. Ces formules sont presque équivalentes, la formulation de List étant plus générale.

Formule de List

La formule générale donnant l'accélération est la suivante :

$\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\overrightarrow{a}=g(\frac{T^{\prime }}{T_0}-\frac{p^{\prime }}{p}+{\gamma }^{\prime })\overrightarrow{k}-\frac{1}{{\rho }_0}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{p}^{\prime }$

• $\overrightarrow{v}$ est le vecteur vitesse de la parcelle d'air ;
• g est l'accélération de la pesanteur ;
• p' est la différence de pression entre la parcelle et l'air environnant ;
• p est la pression atmosphérique ;
• ρModèle:Ind est la masse volumique de l'air sec ;
• T' est la différence de température entre la parcelle et l'air environnant ;
• T est la température de l'air environnant.

L'accélération horizontale est la suivante:

$\frac{du}{dt}=a_x=-\frac{1}{{\rho }_0}\frac{\partial p^{\prime }}{\partial x}$

• u est la vitesse horizontale de la parcelle.

L'accélération verticale est la suivante :

$\frac{dw}{dt}=a=g(\frac{T^{\prime }}{T}-\frac{p^{\prime }}{p})-\frac{1}{{\rho }_0}\frac{\partial p^{\prime }}{\partial z}$

• w est la vitesse verticale;
• g est l'accélération de la pesanteur;
• cModèle:Ind est la capacité calorifique de l'air à volume constant;
• cModèle:Ind est la capacité calorifique de l'air à pression constante.

Formule de Cotton

L'accélération verticale d'une parcelle d'air est la suivanteModèle:,Modèle:,:

$\frac{dw}{dt}=a=g(\frac{\theta {\text{'}}_v}{{\theta }_v}-\frac{c_{v,a}}{c_{p,a}}\frac{p^{\prime }}{p}+{\gamma }^{\prime })-\frac{1}{{\rho }_0}\frac{\partial p^{\prime }}{\partial z}$

• w est la vitesse verticale;
• g est l'accélération de la pesanteur;
• c_v,a est la capacité calorifique de l'air à volume constant;
• c_p,a est la capacité calorifique de l'air à pression constante;
• p' est la différence de pression entre la parcelle et l'air environnant;
• p est la pression atmosphérique;
• ρ₀ est la masse volumique de l'air sec;
• ${\theta }_v$ est la température potentielle virtuelle de l'air environnant;
• $\theta {\text{'}}_v$ est la différence de température potentielle virtuelle entre la parcelle et l'air environnant;
• γ′ est le facteur correcteur relatif à la différence entre la température et la température virtuelle.

Analyse d'un vol effectué à travers un cumulonimbus

Marwitz a analysé un vol effectué à travers un cumulonimbus et a été capable de déduire le déficit de pression p'.

Estimation du changement de vitesse horizontale

On suppose que la vitesse verticale est petite par rapport à la vitesse horizontale car l'accélération verticale est contrecarrée par la flottabilité négative.

L'accélération horizontale d'une parcelle est:

$a_x=-\frac{1}{{\rho }_0}\frac{\partial p}{\partial x}$

Le changement de vitesse horizontale sera donc :

$\mathrm{\Delta }u=\sqrt{2}\sqrt{\frac{p^{\prime }}{{\rho }_0}}$

et donc :

$p^{\prime }=\frac{1}{2}{\rho }_0(\mathrm{\Delta }u{)}^2$

On peut ainsi estimer le déficit de pression en mesurant le changement de vitesse sol entre l'extérieur et la colonne ascendante.

Lors de ce vol, des changements de vitesse horizontale de l'ordre de Modèle:Unité environ eurent été observés. En supposant que ${\rho }_0\approx 1\mathrm{k}\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$ on obtient alors $p^{\prime }\approx 100\mathrm{P}\mathrm{a}$. Modèle:Boîte déroulante

Estimation de la poussée verticale

Le déficit maximum de pression a été estimé être à Modèle:Unité de hauteur. On peut donc estimer que

$\frac{\partial p^{\prime }}{\partial z}\approx \frac{100}{1600}\approx 6\times 10^{-2}$

et donc, l'accélération verticale liée au déficit de pression a été estimée à Modèle:Unité.

Discussion

Dans le cas du vol cité ci-dessus, l'accélération due au déficit de pression est de l'ordre de Modèle:Unité. La parcelle d'air était plus froide de Modèle:Unité, l'accélération vers le bas est due à la flottabilité négative est

$a_b=-g\frac{T^{\prime }}{T}=10\times \frac{2}{300}=-6.7\times 10^{-2}$

On note donc que le déficit de pression pratiquement contrecarre la flottabilité négative et donc la parcelle d'air va facilement s'élever jusqu'à de grandes hauteurs.

Conclusion

Le vol ci-dessus qui a été pratiqué dans un orage peu sévère (pas de grosse grêle ou de tornade) démontre que les ascendances sont principalement dynamiques sous un cumulonimbus. Par conséquent, un sondage atmosphérique qui indique que la couche d'air près du sol est stable (la température virtuelle augmentant avec l'altitude) ne garantit pas l'impossibilité pour les orages de se former. En outre, si l'orage est violent et/ou que la base du nuage est basse, alors $\frac{\partial p^{\prime }}{\partial z}$ devient plus grand et donc l'effet dynamique va s'accentuer.

La formule de List est applicable aux ascendances thermiques sous un cumulus bénin et donc le changement de vitesse air d'un planeur va donner une estimation de p'. Le changement de vitesse air est en général de l'ordre de 5 nœuds soit 2.5 m/s. Le changement de pression est alors de l'ordre de seulement Modèle:Unité. L'effet du gradient de pression est alors totalement négligeable et donc, l'ascendance est alors purement thermique. En conclusion si durant le début de l'après midi, les ascendances sont faibles, puis plus tard dans l'après-midi, les ascendances dites « thermiques » deviennent douces et plus fortes, alors il y a un effet d'aspiration dynamique qui se met en place qui est dû à un orage en formation.

Bibliographie

• Modèle:Article

Articles connexes

• Aspiration dans un nuage
• Cumulonimbus et aviation