Équation du centre

Modèle:Ébauche En astronomie, l’équation du centre traduit, dans le cadre du mouvement elliptique, la différence entre l'anomalie vraie v et l'anomalie moyenne M.

Dans le cas du mouvement képlérien (deux astres tournant seuls, l'un autour de l'autre) cette différence est périodique, de période T égale à la période de révolution du corps orbitant autour de l'astre central. L'équation du centre s'obtient à partir de deux équations qui mettent en jeu un autre argument qui est l'anomalie excentrique E :

E - e \cdot \sin (E) = M

(équation de Kepler)

\tan \frac{v}{2} = \sqrt{\frac{1 + e}{1 - e}} \cdot \tan \frac{E}{2}

L'équation du centre vaut $C = v - M$ avec $M = \frac{2 \cdot π}{T} (t - t_{0})$

t et t₀ sont respectivement le temps et l'instant du passage au périastre.

Pour calculer l'équation du centre pour une date donnée, il est nécessaire de résoudre l'équation de Kepler.

Lorsque l'excentricité e de l'orbite est faible, on peut approcher l'équation du centre par un développement limité, et ainsi éviter la résolution de l'équation de Kepler. On trouve en retenant les termes jusqu'à $e^{6}$ :

C = v - M = (2 e - \frac{1}{4} e^{3} + \frac{5}{96} e^{5}) \cdot \sin (M) + (\frac{5}{4} e^{2} - \frac{11}{24} e^{4} + \frac{17}{192} e^{6}) \cdot \sin (2 M) + (\frac{13}{12} e^{3} - \frac{43}{64} e^{5}) \cdot \sin (3 M) +

$+ (\frac{103}{96} e^{4} - \frac{451}{480} e^{6}) \cdot \sin (4 M) + \frac{1097}{960} e^{5} \cdot \sin (5 M) + \frac{1223}{960} e^{6} \cdot \sin (6 M) . . .$

Cette série converge pour e<0.6627..., il n'est donc qu'applicables qu'aux planètes et astéroïdes de faible excentricité.

Le terme général de la série de Fourier

$C = v - M = \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} \sin n M$

peut être exprimé par les fonctions de Bessel de premier espèce.

$b_{n} = \frac{2}{n} (J_{n} (n e) + \sum_{m = 1}^{\infty} q^{m} [J_{n - m} (n e) + J_{n + m} (n e)])$

avec $q = \frac{e}{1 + \sqrt{1 - e^{2}}}$

ou bien l'expression de Greatheed^[1]

$b_{n} = 2 (q^{n} \exp (\frac{n e (q^{- 1} - q)}{2}) + q^{- n} \exp (\frac{n e (q - q^{- 1})}{2}))$

où l'expression doit être développée suivant les puissances de q, les puissances négatives de q doivent supprimées, et les termes en q⁰ divisés par 2.

Références

Colwell (1993) : Solving Kepler's equation over three centuries, ed Willmann-Bell, Modèle:ISBN

Notes

↑ Greatheed,S ,1837, "Investigation of the general term of the expansion of the true anomaly in terms of the mean" Cambridge Mathematical Journal, 1, 208-212

Modèle:Portail

[1] Greatheed,S ,1837, "Investigation of the general term of the expansion of the true anomaly in terms of the mean" Cambridge Mathematical Journal, 1, 208-212

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Références

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