Équation hypsométrique

L’équation hypsométrique est une équation en météorologie et océanographie qui repose sur l'équation hydrostatique pour : déterminer la différence de géopotentiel entre deux niveaux de pression $p_1$ et $p_2$, réduire la pression observée à celle d'une autre altitude et étalonner un baromètre anéroïde.

Équation

L'équation hypsométrique est définie commeModèle:,:

$h=z_2-z_1=\frac{R\cdot \overline{T}}{g}\cdot \ln \left(\frac{p_1}{p_2}\right)$

où :

$h$ = épaisseur de la couche (m) ;

$z$ = hauteurs des pressions p₁ et p₂ (m) ;

$R$ = constante universelle des gaz parfaits pour l'air sec ;

$\overline{T}$ = température moyenne de la couche (K) ;

$g$ = accélération normale de la pesanteur terrestre (Modèle:Nb) ;

$p$ = pression atmosphérique (Pa).

L'équation hydrostatique relie la variation de pression atmosphérique ou hydrologique avec celle de la hauteur. La dérivée de p versus z estModèle:, :

$\mathrm{d}p=-\rho \cdot g\cdot \delta z$

où $\rho$ est la masse volumique (Modèle:Nb) du fluide pour obtenir l'équilibre hydrostatique.

En utilisant l'équation des gaz parfaitsModèle:, :

$p=\rho \cdot R\cdot T$.

Il est possible d'éliminer $\rho$ :

$\frac{\mathrm{d}p}{p}=\frac{-g}{R\cdot T}\mathrm{d}z$.

Ensuite en intégrant de $z_1$ à $z_2$Modèle:, :

$\underset{p(z_1)}{\overset{p(z_2)}{\int }}\frac{\mathrm{d}p}{p}=\underset{z_1}{\overset{z_2}{\int }}\frac{-g}{R\cdot T}\mathrm{d}z$.

R et g sont considérés comme presque constants avec z dans la faible couche atmosphérique, il est donc possible de les mettre sous l'intégraleModèle:,. Si la température varie de façon linéaire avec z (comme dans l'atmosphère standard internationale), elle peut être sortie de l'intégrale et remplacée par $\overline{T}$, une température moyenne de la couche de $z_1$ à $z_2$Modèle:,.

$\underset{p(z_1)}{\overset{p(z_2)}{\int }}\frac{\mathrm{d}p}{p}=\frac{-g}{R\cdot \overline{T}}\underset{z_1}{\overset{z_2}{\int }}\mathrm{d}z$

L'intégrale donne donc :

$\ln \left(\frac{p(z_2)}{p(z_1)}\right)=\frac{-g}{R\cdot \overline{T}}(z_2-z_1)$.

Après simplification :

$\ln \left(\frac{p_1}{p_2}\right)=\frac{g}{R\cdot \overline{T}}(z_2-z_1)$.

Et réarrangement des termes :

$(z_2-z_1)=\frac{R\cdot \overline{T}}{g}\ln \left(\frac{p_1}{p_2}\right)$

ou en éliminant le logarithme naturel (ln) :

$\frac{p_1}{p_2}=e^{\frac{g}{R\cdot \overline{T}}\cdot (z_2-z_1)}$.