Équations d'Einstein-Infeld-Hoffmann

Dans le cadre du problème à $N$ corps en relativité générale, les Modèle:Terme défini Modèle:Gras sont les équations différentiellesModèle:Sfn du mouvement décrivant, à l'approximation post-newtonienneModèle:Sfn d'ordre 1, la dynamiqueModèle:Sfn d'un système à $N$ corpsModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn de masses ponctuelles dans le videModèle:Sfn.

Elles généralisent le principe fondamental de la dynamique newtonienneModèle:Sfn.

Les équations s'expriment d'ordinaire dans le référentiel barycentriqueModèle:Sfn et en coordonnées harmoniquesModèle:Sfn. Elles s'écrivent alorsModèle:Sfn :

$\begin{array}{cc}{\overrightarrow{a}}_A=& -\sum _{B\ne A}\frac{G{M}_B}{r_{AB}^2}{\overrightarrow{n}}_{AB}\\ & +\frac{1}{c^2}\{-\sum _{B\ne A}\frac{G{M}_B}{r_{AB}^2}[v_A^2-4({\overrightarrow{v}}_A\cdot {\overrightarrow{v}}_B)+2v_B^2-\frac{3}{2}{({\overrightarrow{n}}_{AB}\cdot {\overrightarrow{v}}_B)}^2-\frac{5G{M}_A}{r_{AB}}-\frac{4G{M}_B}{r_{AB}}]{\overrightarrow{n}}_{AB}\\ & +\sum _{B\ne A}\frac{G{M}_B}{r_{AB}}[{\overrightarrow{n}}_{AB}\cdot (4{\overrightarrow{v}}_A-3{\overrightarrow{v}}_B)]({\overrightarrow{v}}_A-{\overrightarrow{v}}_B)\\ & +\sum _{B\ne A}\sum _{C\ne A,B}\frac{G^2{M}_B{M}_C}{r_{AB}^2}[\frac{4}{r_{AC}}+\frac{1}{r_{BC}}-\frac{r_{AB}}{2r_{BC}^2}({\overrightarrow{n}}_{AB}\cdot {\overrightarrow{n}}_{BC})]{\overrightarrow{n}}_{AB}\\ & -\frac{7}{2}\sum _{B\ne A}\sum _{C\ne A,B}\frac{G^2{M}_B{M}_C}{r_{AB}{r}_{BC}^2}{\overrightarrow{n}}_{BC}\}+O\left(c^{-4}\right)\end{array}$,

où :

• $c$ est la vitesse de la lumière dans le vide,
• $G$ est la constante gravitationnelle.

Histoire

Les équations ont d'abord été formulées en Modèle:Date par Hendrik Lorentz et Johannes Droste, qui ont publié leurs résultats en néerlandais dans une communication à l'Académie néerlandaiseModèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn. Leur papier reste inaperçu par les quelques chercheurs alors impliqués dans le développement précoce de la relativité généraleModèle:Sfn. Les équations ont été obtenues, à peu près au même moment, par Willem de Sitter, qui a fait usage de la métrique post-newtonienne précédemment dérivée par Droste, et postulé que les corps devraient se déplacer sur les géodésiques de la métrique externeModèle:Sfn. Mais, en raison d'une erreur de calcul, les équations de de Sitter différaient des équations post-newtoniennes correctes par un seul terme, et elles conduisent à la prédiction erronée que la barycentre du système devrait subir une accélération séculaireModèle:Sfn. L'erreur a été découverte et corrigée en Modèle:Date par Arthur Eddington et ClarkModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn. La même année, une nouvelle dérivation des équations du mouvement a été produite par Albert Einstein, Leopold Infeld et Banesh HoffmannModèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn. Malgré l'antériorité du travail de Lorentz et Droste, qui n'a finalement été mis en lumière que grâce à sa traduction en anglais publiée en Modèle:Date, les équations sont connues comme les équations de mouvement d'Einstein-Infeld-HoffmannModèle:Sfn.

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:Article.
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• Modèle:Ouvrage
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