Établissement de l'équation de propagation à partir des équations de Maxwell

L'équation de propagation d'une onde électromagnétique peut se calculer à partir des équations de Maxwell.

Hypothèses préalables

Supposons que le milieu soit linéaire, homogène, non magnétique et isotrope (L.H.I.). Dans ce cas :

$\overrightarrow{B}=\mu \overrightarrow{H}$ et $\overrightarrow{D}=ϵ\overrightarrow{E}$

où $\mu ={\mu }_0{\mu }_r$ désigne la perméabilité magnétique et $ϵ={ϵ}_0{ϵ}_r$ est la permittivité diélectrique.

Supposons également que ces deux coefficients et la densité de charge électrique $\rho$ ne dépendent pas des variables spatiales (ni temporelles).

Formulation des relations

Exprimées à l’aide du champ électrique $\overrightarrow{E}$ et du champ magnétique $\overrightarrow{H}$, les équations dites de Maxwell dans les milieux continus prennent la forme locale suivante :

1. $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\overrightarrow{E}=-\mu \frac{\partial \overrightarrow{H}}{\partial t}$
2. $\mu \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{H}=0$
3. $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\overrightarrow{H}=\overrightarrow{j}+ϵ\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$
4. $ϵ\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{E}=\rho$

Équation relative au champ électrique Modèle:Math

Pour éliminer le champ magnétique $\overrightarrow{H}$ entre les relations 1 et 3, il s’agit d’appliquer le rotationnel à la première et de dériver la troisième par rapport au temps. À l’aide des hypothèses et grâce au théorème de Schwarz permettant de permuter les opérateurs différentiels spatiaux et temporels, il vient alors

$\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\overrightarrow{E}+\mu \frac{\partial }{\partial t}(\overrightarrow{j}+ϵ\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t})=0.$

L’identité des opérateurs vectoriels $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\overrightarrow{E}=\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{E}-\mathrm{\Delta }\overrightarrow{E}$ conduit ensuite à la relation

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{E}-\mu ϵ\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}=\mu \frac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}+\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{E}$

et la relation 4 implique finalement

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{E}-\mu ϵ\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}=\mu \frac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}+\frac{1}{ϵ}\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\rho .$

Équation relative au champ magnétique Modèle:Math

Par un traitement semblable, en appliquant le rotationnel à la relation 3 et en dérivant la première par rapport au temps, il vient

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{H}-\mu ϵ\frac{{\partial }^2\overrightarrow{H}}{\partial t^2}=-\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\overrightarrow{j}.$

Application à divers milieux

Dans les isolants ou dans le vide

La densité de courant est nulle et la densité de charge est constante. Ainsi :

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{E}-\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}=\overrightarrow{0},$

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{H}-\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{H}}{\partial t^2}=\overrightarrow{0},$

qui sont deux équations de d'Alembert dont les ondes se propagent à la vitesse $v$ définie par $ϵ\mu v^2=1$.

Dans le vide ($\mu ={\mu }_0$ et $ϵ={ϵ}_0$), la vitesse de phase est celle de la lumière puisque ${ϵ}_0{\mu }_0{c}^2=1$.

Le découplage entre champs magnétique et électrique dans ces deux dernières équations n’est qu’apparent : les deux champs restent en effet liés par les équations de Maxwell (relations 1 et 3 ci-dessus).

Solutions

Les équations de d’Alembert possèdent comme solutions des ondes planes harmoniques : partant d’une pulsation $\omega$ et d’un vecteur d'onde $\overrightarrow{k}$ de norme notée $k$, la fonction scalaire

$u(\overrightarrow{x},t)=e^{i((\overrightarrow{k},\overrightarrow{x})-\omega t)}$

permet de définir des champs

$\overrightarrow{H}(\overrightarrow{x},t)=u(\overrightarrow{x},t){\overrightarrow{H}}_0$

$\overrightarrow{E}(\overrightarrow{x},t)=u(\overrightarrow{x},t){\overrightarrow{E}}_0$

qui sont solutions lorsque $kv=\omega .$

Les équations de Maxwell imposent par ailleurs l’orthogonalité des 3 vecteurs :

$(\overrightarrow{E},\overrightarrow{H})=(\overrightarrow{k},\overrightarrow{E})=(\overrightarrow{k},\overrightarrow{H})=0$

et le rapport des carrés des normes des champs satisfait

$\mu ||H|{|}^2=ϵ||E|{|}^2.$

Dans les conducteurs ohmiques

La loi d'Ohm est la relation phénoménologique liant la densité de courant au champ électrique :

$\overrightarrow{j}={\sigma }_{\mathrm{\Omega }}\overrightarrow{E},$

${\sigma }_{\mathrm{\Omega }}$ étant la conductivité électrique (qui est l’inverse de la résistivité).

En supposant que la densité de charge reste constante, les équations de propagation s’écrivent alors

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{E}-\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}-{\sigma }_{\mathrm{\Omega }}\mu \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}=0,$

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{H}-\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{H}}{\partial t^2}-{\sigma }_{\mathrm{\Omega }}\mu \frac{\partial \overrightarrow{H}}{\partial t}=0.$

Solutions

Ces équations possèdent des solutions qui sont des ondes planes amorties, en particulier des ondes harmoniques dont l’amplitude est exponentiellement décroissante : en effet, l’onde s’atténue au fur et à mesure qu’elle se propage dans le milieu conducteur.

Partant d’une pulsation $\omega$, d’un vecteur d’onde $\overrightarrow{k}$ de norme $k$ et un facteur d’amortissement $\lambda$, la fonction scalaire

$u(\overrightarrow{x},t)={\mathrm{e}}^{-\lambda (\overrightarrow{k},\overrightarrow{x})}\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}((\overrightarrow{k},\overrightarrow{x})-\omega t)}$

est solution de l’équation aux dérivées partielles à condition de respecter deux relations liant respectivement $k$ et $\lambda$ à $\omega$.

Comme dans le cas d’un milieu isolant, il existe des choix de champs proportionnels à $u(\overrightarrow{x},t)$ qui satisfont les équations de Maxwell : ceux-ci respectent encore l’orthogonalité des 3 vecteurs.

Le rapport des carrés des normes des champs satisfait finalement

$\mu \Vert H{\Vert }^2=ϵ{(1+\frac{{\sigma }_{\mathrm{\Omega }}^2}{{ϵ}^2{\omega }^2})}^{\frac{1}{2}}\Vert E{\Vert }^2.$

Articles connexes

• Équations de Maxwell
• Équations des télégraphistes
• Électrodynamique des milieux continus
• Équation de d'Alembert
• Propagation des ondes