1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

Les six premiers sommets dessinés en portions d'un carré.

La série géométrique sur la ligne réelle.

En mathématiques, la série infinie Modèle:Nobr est un exemple élémentaire d'une série géométrique qui converge absolument.

Sa somme est

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1.$

Preuve directe

Comme pour toute série infinie, la somme infinie

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots$

est définie comme signifiant la limite de la somme des n termes

$s_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^n}$

Multiplier s_n par 2 révèle une relation utile :

$2s_n=\frac{2}{2}+\frac{2}{4}+\frac{2}{8}+\frac{2}{16}+\cdots +\frac{2}{2^n}=1+[\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}]=1+[s_n-\frac{1}{2^n}].$

En soustrayant s_n des deux côtés, on a

$s_n=1-\frac{1}{2^n}.$

Lorsque n tend vers l'infini, s_n tend vers 1.

Histoire

Cette série a été utilisée comme une représentation d'un des paradoxes de Zénon. Les parties de l'œil Oudjat ont été pensées autrefois pour représenter les six premiers termes de la série.

Voir aussi

• 0,999…
• Point de prolongation
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯