Algèbre de Hecke affine

En mathématiques, une algèbre de Hecke affine est une algèbre associée à un groupe de Weyl affine et peut être utilisée pour prouver la conjecture de Macdonald portant sur les polynômes éponymes.

Définition

Soit $V$ un espace euclidien de dimension finie et $\mathrm{\Sigma }$ un système de racines affine sur $V$. Une algèbre de Hecke affine est une certaine algèbre associative qui est une déformation de l'algèbre de groupe $ℂ[W]$ du groupe de Weyl $W$ de $\mathrm{\Sigma }$ (le groupe de Weyl affine). Elle est généralement notée $H(\mathrm{\Sigma },q)$, où $q:\mathrm{\Sigma }\to ℂ$ est la fonction dite « de multiplicité », qui joue le rôle de paramètre de déformation. En effet, pour $q\equiv 1$, l'algèbre de Hecke affine $H(\mathrm{\Sigma },q)$ n'est autre que l'algèbre de groupe $ℂ[W]$.

Généralisations

Ivan Cherednik a introduit des généralisations des algèbres affines de Hecke appelées algèbres de Hecke doublement affines (double affine Hecke algebras, d'où l'acronyme DAHA sous lequel elles sont connues). Grâce à cet outil, il a pu donner une preuve de la conjecture de Macdonald pour les polynômes éponymes (en s'appuyant sur les travaux d'Modèle:Lien). Une autre source importante d'inspiration de Cherednik pour introduire les algèbres de Hecke doublement affines était les Modèle:Lien.

Références

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