Algèbre géométrique conforme
Modèle:Ébauche L’algèbre géométrique conforme est un modèle mathématique de l'espace, établissant une correspondance injective[1] entre l'espace euclidien de dimension et une algèbre géométrique de dimension , telle que l'image de tout point est un vecteur nul et telle qu'il existe un vecteur nul avec lequel l'image de tout point donne un produit intérieur égal à un. Modèle:Bloc emphase
Définitions
Plan de Minkowski
L'algèbre géométrique conforme ajoute à l'espace euclidien deux dimensions dotées d'une métrique pseudo-euclidienne . Cet espace est appelé plan de Minkowskii.
Deux vecteurs nuls de cet espace sont choisis. Ils sont notés et appelés respectivement origine et horizon. Ils sont choisis afin de satisfaire les relations suivantes[2]:
Il peut être montré que forment une base du plan de Minkowski. Cette base est appelée base nulle.
Le produit extérieur de l'horizon et de l'origine forme le pseudo-scalaire du plan de Minkowski. Il est noté avec un E majuscule.
La convention existe aussi mais ne sera pas utilisée dans cet article.
Découpage conforme
L'algèbre géométrique conforme découpe[3] une algèbre géométrique de dimension vectorielle en deux sous espaces : le plan de Minkowski et un espace de dimension visant à représenter un espace euclidien.
Il existe au moins deux méthodes de découpe.
Découpage additif
Le découpage additif utilise une somme directe: Modèle:Bloc emphase
Un vecteur de s'écrit donc:
Les coefficients sont les coordonnées de dans le plan de Minkowski. Ils dépendent de de manière que satisfasse les relations définissant le modèle conforme.
Découpage multiplicatif
Le découpage multiplicatif consiste en un produit direct:
Ici est en fait l'espace des trivecteurs ayant pour facteur commun le bivecteur E.
Le facteur de linéarité est à déterminer en tenant compte des conditions du modèle conforme.
Propriétés
Plan de Minkowski
Carré du pseudo-scalaire
Le carré du pseudo-scalaire du plan de Minkowski est égal à un.
Modèle:Bloc emphase Modèle:Démonstration
Absorption par la base nulle
Dans le plan de Minkowski, la multiplication par E agit sur l'origine et l'horizon en changeant ou non leur signe selon le sens de la multiplication.
Modèle:Bloc emphase Modèle:Démonstration
Expression de F
Découpage additif
Avec le découpage additif, l'expression explicite de F s'écrit[4]: Modèle:Bloc emphase Modèle:Démonstration
Découpage multiplicatif
Pour le découpage multiplicatif, F s'écrit:
Modèle:Bloc emphase Modèle:Démonstration
Produit intérieur et norme euclidienne
Le carré de la distance euclidienne est l'opposé du double du produit intérieur.
Modèle:Bloc emphase Modèle:Démonstration
Voir aussi
Liens externes
- Modèle:En Old Wine in New Bottles: A new algebraic framework for computational geometryModèle:PDF, David Hestenes
Notes et références
- ↑ Il est choisi ici de stipuler le caractère injectif de la correspondance pour éviter d'inclure le cas trivial .
- ↑ Il existe plusieurs manières de définir l'origine et l'horizon, ainsi que différentes notations. Certains ouvrages utilisent notamment une convention différente pour la valeur du produit scalaire : . Ces différentes conventions ne changent pas fondamentalement les propriétés algébriques de l'algèbre géométrique conforme, et peuvent être assimilées à des divergences dans le choix des unités.
- ↑ Ici le mot découpage et ses substantifs ont été choisis pour traduire le terme anglais Modèle:Lang dans l'expression de Hestenes Modèle:Lang
- ↑ Certaines sources utilisent la formule . La différence de signe semble être liée au choix différent pour le signe du produit scalaire entre l'origine et l'horizon.