Anneau à PGCD

Modèle:Confusion En algèbre commutative, un anneau à PGCD, ou plus rarement anneau de Gauss, est un anneau commutatif unitaire dans lequel tout couple d'éléments non nuls possède un plus grand diviseur commun. Dans un anneau quelconque, l'existence d'un tel PGCD n'est pas toujours acquise. Les anneaux intègres à PGCD représentent une classe d'anneaux aux propriétés arithmétiques intéressantes à tel point qu'il est fréquent que les anneaux à PGCD ne soient étudiés que dans les anneaux intègresModèle:,Modèle:,.

Définitions et exemples

Dans un anneau A, si a et b sont deux éléments non nuls de A, on dit que :

• d est un PGCD (plus grand commun diviseur) de a et b si les diviseurs communs à a et b sont les diviseurs de d ;
• m est un PPCM (plus petit commun multiple) de a et b si les multiples communs à a et b sont les mutiples de m.

L'existence d'un PGCD, qui est acquise dans l'ensemble des entiers relatifs, n'est pas une propriété générale à tout anneau : ainsi dans l'anneau ℤ[[[:Modèle:Math]]Modèle:Sqrt], les éléments a = 6 et b = 2 + 2Modèle:MathModèle:Sqrt ne possèdent pas de PGCD.

Modèle:Démonstration/début Les éléments de l'anneau ℤ[[[:Modèle:Math]]Modèle:Sqrt] s'écrivent u + Modèle:MathModèle:Sqrtv avec u et v entiers relatifs. Le principe est de faire une recherche exhaustive des diviseurs communs de a et b pour démontrer qu'il n'en existe pas de maximum.

On remarque que, pour tout élément z de ℤ[[[:Modèle:Math]]Modèle:Sqrt], le carré de son module, |z|Modèle:2 = uModèle:2 + 5vModèle:2, est un entier. Comme les propriétés de divisibilité se transmettent aux modules, il est possible d'utiliser les propriétés de divisibilité dans l'anneau ℤ :

Soit d = u + Modèle:MathModèle:Sqrtv un diviseur de a = 6 et de b = 2 + 2Modèle:MathModèle:Sqrt ; alors dans ℤ, |d|Modèle:2 = uModèle:2 + 5vModèle:2 divise |a|Modèle:2 = 36 et |b|Modèle:2 = 24, donc divise 12.

Il n'existe qu'un nombre fini de couples d'entiers relatifs (u, v) tels que uModèle:2 + 5vModèle:2 divise 12. Une étude exhaustive conduit à exhiber les 6 diviseurs communs à a et b :

$\pm 1,\pm 2,\pm (1+\mathrm{i}\sqrt{5})$.

Les valeurs correspondantes de |d|Modèle:2 étant 1, 4 et 6, cet ensemble n'a pas de maximum. Modèle:Démonstration/fin

Un anneau à PGCD est un anneau où cette existence est acquise.

• Tout anneau factoriel (par exemple ℤ ou un corps) est un anneau à PGCD.
• Tout anneau de polynômes en une ou plusieurs indéterminées (éventuellement une infinité) à coefficients dans un anneau intègre à PGCD est encore à PGCD.

Propriétés des anneaux intègres à PGCD

PGCD et PPCM

Soient Modèle:Math des éléments non nuls d'un anneau intègre quelconque. Le symbole ~ représente l'égalité à produit près par un inversible.

• Si PPCM(a, b) existe alors PGCD(a, b) existe et l'on a l'égalité suivante :Modèle:Retrait

Modèle:Démonstration/début Si m est un PPCM(a, b) et puisque le produit ab est un commun multiple, on peut définir D par la relation ab=mD.

Montrons que D est un commun diviseur. Comme m est multiple de a on peut écrire m=ka et l'on a ab=kaD. L'anneau étant intègre, on en déduit b=kD et D divise b. La symétrie qui échange a et b nous donne que D divise aussi a, c'est un commun diviseur.

Il reste à montrer que si d est un commun diviseur, c'est un diviseur de D. Définissons a' et b' par a=da' et b=db' , alors da'b' est un commun multiple, on peut l'écrire da'b'=md' , et en multipliant par d on obtient ab=dmd' soit mD=dmd' d'où D=dd' , et d est bien un diviseur de D.

On a montré que D est un PGCD.

Modèle:Démonstration/fin La réciproque peut se révéler fausse ; ainsi dans l'anneau ℤ[[[:Modèle:Math]]Modèle:Sqrt], les éléments a = 2 + Modèle:MathModèle:Sqrt et b = 3 (irréductibles) admettent 1 comme PGCD mais n'ont pas de PPCMModèle:,. Cependant, si tous les couples (a, b) possèdent un PGCD alors ils possèdent aussi un PPCM. Un anneau intègre à PGCD est donc aussi un anneau à PPCM (et réciproquement).

• Si PGCD(ac, bc) existe alors PGCD(a, b) existe et l'on a l'égalité suivante :Modèle:RetraitCette égalité permet d'exprimer tout élément du corps des fractions d'un anneau à PGCD sous forme irréductible (unique).
  À nouveau, la réciproque est fausse : ainsi dans l'anneau ℤ[[[:Modèle:Math]]Modèle:Sqrt], les éléments a = 2 + Modèle:MathModèle:Sqrt et b = 3 possèdent un PGCD mais 3a et 3b n'en possèdent pas.
• PPCM(ac, bc) existe si et seulement si PPCM(a, b) existe, et l'on a donc dans ce cas :Modèle:Retrait

Un anneau intègre A est à PGCD si et seulement si son groupe de divisibilité, Frac(A)*/[[Groupe des unités|AModèle:Exp]], est réticulé par les deux lois PPCM et PGCD. Comme tout groupe réticulé, ce treillis est alors distributif, c'est-à-dire que chacune des deux lois est distributive par rapport à l'autre. Il en est donc de même pour leurs restrictions à A*/AModèle:Exp.

Lemme de Gauss et lemme d'Euclide

Tout anneau intègre A à PGCD est un anneau de SchreierModèle:, Modèle:C.-à-d. qu'il est à la fois :

• intégralement clos ;
• pré-Schreier. En particulier, A vérifie :
  • le lemme de Gauss : pour tous éléments a, b et c de A, si a et b sont premiers entre eux et si a divise bc alors a divise c
  • et a fortiori le lemme d'Euclide : tout élément irréductible p de A est premier, Modèle:C.-à-d. que pour toute paire {a, b} d'éléments de A, si p divise ab alors p divise a ou p divise b.

Idéaux principaux

Par la suite, dans un anneau intègre quelconque, on notera Modèle:Formule l'idéal principal engendré par Modèle:Mvar, c'est-à-dire l'ensemble des multiples de Modèle:Mvar. Ainsi :

• un élément Modèle:Mvar est un PPCM de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar si et seulement si $(a)\cap (b)=(m)$.

  Un anneau intègre est donc à PGCD si et seulement si l'intersection de deux idéaux principaux est toujours un idéal principalModèle:Sfn.

• un élément Modèle:Mvar est un PGCD de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar si et seulement si Modèle:Formule est le plus petit idéal principal contenant [[Somme d'idéaux|l'idéal Modèle:Formule + Modèle:Formule]].
  • Si Modèle:Formule + Modèle:Formule lui-même est principal, son générateur est donc un PGCD de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar.
  • En général, l'existence d'un PGCD n'assure pas que Modèle:Formule + Modèle:Formule soit principal (cf. exemples ci-dessous d'anneaux à PGCD qui ne sont pas de Bézout). Un exemple simple pour illustrer cela est de considérer l'anneau Z[X] et ses idéaux (2) et (X) ; l'idéal somme est engendré par 2 et X, et le PGCD de 2 et X est 1 (i.e. le plus petit idéal principal contenant l'idéal somme est l'anneau Z[X]).

Relation avec les anneaux factoriels et les anneaux de Bézout

• Un anneau pré-Schreier — en particulier un anneau intègre à PGCD, Modèle:Supra — est factoriel si (et seulement si) il est atomiqueModèle:Sfn.
• Tout anneau de Bézout (et a fortiori tout anneau principal) est à PGCD Modèle:Supra.
• Tout anneau à PGCD intègre et noethérien est factoriel. Plus précisément, un anneau intègre est factoriel si et seulement si c'est à la fois un anneau à PGCD et un anneau dans lequel toute suite croissante d'idéaux principaux est stationnaire.
• Il existe des anneaux intègres à PGCD qui ne sont pas factoriels (prendre un anneau de Bézout non atomique comme l'anneau des entiers algébriques).
• Il existe des anneaux intègres à PGCD qui ne sont pas de Bézout (par exemple un anneau factoriel non principal, comme ℚ[X,Y] ou ℤ[X]).
• Il existe même des anneaux intègres à PGCD qui ne sont ni factoriels ni de Bézout.

Voir aussi

Liens externes

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