Anneau d'Hermite

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La notion d'anneau d'Hermite est un peu plus faible que celle d'anneau projectif libre (notion qui est également traitée dans cet article). Le théorème de Quillen-Suslin[1] (qui apporte une réponse positive à une conjecture de Serre) montre que l'anneau de polynômes K[X1,…,Xn] (où K est un corps commutatif) est un anneau d'Hermite (et, d'après le théorème de Hilbert-Serre[2], il est même projectif libre). Ce résultat cesse d'être exact si le corps K est non commutatif dès que n≥2[3]Modèle:,[4]. De même, la première algèbre de Weyl A1(k) (où k est un corps commutatif) n'est pas un anneau d'Hermite[5].

Définitions

Notons tout d'abord que le terme anneau d'Hermite est pris ici au sens introduit par Lissner[6]. Suivant une terminologie maintenant tombée en désuétude, due à Kaplansky[7], la notion d'anneau d'Hermite commutatif intègre coïncide avec celle d'anneau de Bézout. La notion précisée ci-dessous est plus générale.

  • Un anneau R est dit avoir la Modèle:Lien[8] si ses puissances cartésiennes sont deux à deux non isomorphes en tant que modules[9] : Modèle:Indente Tout anneau commutatif non nul a la propriété IBN[10].
  • Soit R un anneau et P un R-module à droite. Ce module P est dit Modèle:Lien s'il existe des entiers m et n tels que P⊕Rm≅Rn[11]Modèle:,[12].
    Il est clair qu'un module stablement libre est projectif de type fini, la réciproque étant en général inexacte. D'autre part, un module libre de type fini est stablement libre.
  • Une matrice-ligne A1∈R1×n est dite unimodulaire si elle est inversible à droite.
    Les conditions suivantes sont équivalentes :
  1. Pour toute ligne unimodulaire A1, il existe une matrice A2∈Rn−1×n telle que la matrice carrée
    A=(A1A2)
    est inversible.
  2. Tout R-module à droite stablement libre est libre.
  • Un anneau est dit d'Hermite à droite s'il a la propriété IBN et s'il vérifie les conditions équivalentes ci-dessus[11]Modèle:,[13].
    On définit de même un anneau d'Hermite à gauche, mais un anneau est d'Hermite à droite si, et seulement si il est d'Hermite à gauche[11]. (La terminologie vient du fait suivant : Charles Hermite a montré que toute ligne non nulle de n entiers aModèle:Ind peut être complétée par n – 1 lignes de n entiers de façon à former une matrice carrée dont le déterminant est le plus grand diviseur commun des aModèle:Ind[14].)
  • La notion d'anneau projectif libre a été introduite par Cohn[15]. Un anneau R est dit projectif libre si tout R-module projectif de type fini est libre[11].
    Il est clair que tout anneau projectif libre est d'Hermite, la réciproque étant inexacte.
  • Soit R un anneau noethérien sans diviseurs de zéro. Les conditions suivantes sont équivalentes :
  1. Tout idéal à gauche ou à droite de R est stablement libre.
  2. Tout R-module sans torsion est stablement libre.
    On appelle anneau stablement libre un anneau qui vérifie les conditions équivalentes ci-dessus[16]Modèle:,[17].

Quelques résultats

  • Si R est un anneau de Bézout (non nécessairement commutatif), tout R-module de type fini est libre. Par conséquent, tout anneau de Bézout est un anneau d'Hermite.
  • Si R est un anneau de Bézout commutatif ou un anneau de valuation, R[X1,…,Xn] est un anneau projectif libre[18]. Cela cesse d'être exact dès que n≥2 si R est un anneau de Bézout non commutatif (ou même un corps non commutatif, comme on l'a dit plus haut).
  • Un anneau local, un anneau de Dedekind commutatif, sont des anneaux d'Hermite[19]. Cela n'est pas vrai d'un anneau de Dedekind non commutatif quelconque, comme le montre l'exemple de l'algèbre de Weyl A1(k).
  • L'anneau des polynômes de Laurent généralisés K[X1,…,Xn,Y1,…,Ym,Y1−1,…,Ym−1], où K est un corps commutatif, est projectif libre[20].
  • Si R=K[[Y1,…,Ym]], où K est un corps commutatif, alors R[X1,…,Xn] est projectif libre. La conjecture de Bass-Quillen, non démontrée, est que cela reste vrai si R est, plus généralement, un anneau local régulier[21].
  • Un anneau (non nécessairement commutatif) stablement libre est un anneau de Dedekind, la réciproque étant inexacte. Néanmoins, l'algèbre de Weyl A1(k), où k est un corps commutatif de caractéristique 0, est un anneau stablement libre qui n'est pas projectif libre[17].
  • Un anneau (non nécessairement commutatif) est principal si, et seulement si il est stablement libre et d'Hermite[17].
    La condition nécessaire est évidente. La condition suffisante se démontre comme suit : soit R un anneau stablement libre et 𝔞 un idéal à gauche de R. Cet idéal 𝔞 est stablement libre. Si de plus R est un anneau d'Hermite, 𝔞 est libre. Puisque R est noethérien, R est un anneau principal à gauche[22]. Le même raisonnement montre que R est également un anneau principal à droite.

Notes et références

Notes

Modèle:Références

Références

Lien externe

Modèle:Lien web

Modèle:Palette

Modèle:Portail

  1. ↑ Voir l'article « Module projectif ».
  2. ↑ Modèle:Harvsp.
  3. ↑ Modèle:Harvsp.
  4. ↑ Modèle:Harvsp.
  5. ↑ Modèle:Harvsp.
  6. ↑ Modèle:Harvsp.
  7. ↑ Modèle:Harvsp.
  8. ↑ Abréviation de l'expression anglaise « Modèle:Lang ».
  9. ↑ Cette condition est plus faible que l'exigence de puissances non isomorphes en tant que groupes abéliens : les puissances de l'anneau R des polynômes à coefficients avec une infinités d'indéterminées sont isomorphes en tant que Z-modules mais pas en tant que R-modules.
  10. ↑ Modèle:Harvsp.
  11. ↑ 11,0 11,1 11,2 et 11,3 Modèle:Harvsp.
  12. ↑ Nous traduisons littéralement l'expression anglaise « Modèle:Lang ». « Modèle:Lang » est un néologisme en anglais, tout autant que « stablement » en français.
  13. ↑ Dans Modèle:Harvsp, la propriété IBN est omise.
  14. ↑ Modèle:Harvsp.
  15. ↑ Modèle:Harvsp.
  16. ↑ Modèle:Harvsp.
  17. ↑ 17,0 17,1 et 17,2 Modèle:Harvsp.
  18. ↑ Modèle:Harvsp.
  19. ↑ Modèle:Harvsp.
  20. ↑ Modèle:Harvsp.
  21. ↑ Modèle:Harvsp.
  22. ↑ Modèle:Harvsp.
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