Antilimite

En analyse, lModèle:'antilimite désigne la limite (finie) qu'on peut associer à une suite divergente. On peut la calculer par une méthode de sommation, une technique d'accélération de convergence ou par prolongement analytique. Le terme a été introduit par Daniel Shanks en 1955.

Définition

Dans son article de 1955, Daniel Shanks s'intéresse aux transformations de suites de la forme

$s_n=s+\sum _{i=0}^k{c}_i{g}_i(n),\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}.$

avec Modèle:Mvar, Modèle:Math, ..., Modèle:Mvar, des constantes et Modèle:Math, ..., Modèle:Mvar, des fonctions. Dans le cas où Modèle:Math ne converge pas, Shanks désigne Modèle:Mvar comme lModèle:'antilimite de la suite et dit que « Modèle:Math diverge de Modèle:Mvar ».

Par prolongement analytique

On se place dans le cas où la suite Modèle:Math est une série divergente :

$s_n=\sum _{k=0}^n{a}_k⟶+\mathrm{\infty }$

On considère la série génératrice liée :

$s_n(x)=\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k$

Si cette série de fonctions converge sur un disque de convergence de rayon Modèle:Math, il existe une fonction Modèle:Mvar telle :

$\mathrm{\forall }x\in [0,\rho [,\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n=S(x).$

Cette fonction Modèle:Mvar peut être définie hors du disque de convergence, notamment en Modèle:Math et y avoir une valeur finie. Cette valeur Modèle:Math est alors appelée antilimite de la série Modèle:Math.

Exemples

• Une série divergente peut se voir associer des valeurs finies par des procédés de sommation, comme la série de Grandi

$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^n=\frac{1}{2}$

ou la série alternée des entiers

$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}n=\frac{1}{4}$

• La suite de sommes partielles

$s_n=\sum _{k=1}^n\frac{(-2{)}^{k-1}}{k}$

est grossièrement divergente, cependant, on peut reconnaitre le développement en série entière du logarithme naturel :

$-\frac{1}{x}\ln (1-x)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{x^{n-1}}{n}$

pris en Modèle:Math, qui est hors du disque de convergence (le rayon de convergence de cette série vaut 1). Ainsi, Modèle:Math est l'antilimite de la série :

$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-2{)}^{n-1}}{n}=\frac{1}{2}\ln (3).$

Voir aussi

• Vitesse de convergence des suites
• Prolongement analytique