Apollonios de Perga

Apollonios de Perga ou Apollonius de Perge (en grec ancien Modèle:Grec ancien / Apollốnios o Pergaíos), né dans la seconde moitié du Modèle:-s- (probablement autour de Modèle:Nobr), mort au début du Modèle:-s- est un géomètre et astronome grec. Il serait originaire de Pergé (ou Perga, ou encore Pergè actuelle Aksu en Turquie), mais a vécu à Alexandrie.

Il est considéré comme l'une des grandes figures des mathématiques hellénistiquesModèle:Sfn et a exercé une influence importante sur les développements de l'analyse au Modèle:S-.

Biographie

Apollonius serait né à Perge autour de 240 Modèle:Av JC. On tient pour vrai et vérifié qu'il étudia au Musée d'Alexandrie et fut contemporain des disciples d'Euclide. Il résida assez longtemps dans la capitale alexandrine, où il développa sa fructueuse activité et exerça comme professeur de géométrie sous le règne de Ptolémée III Évergète et Ptolémée Philopator. Comme le raconte Pappus d'Alexandrie dans la Collection mathématique, où il fait de nombreuses références à l'œuvre d'Apollonios, le grand géomètre avait un caractère mélancolique et irascible, et était d'abord difficileModèle:,Modèle:Sfn.

Travaux

Les sections coniques, ou figures bidimensionnelles formées par l'intersection d'un plan avec un cône à différents angles. La théorie de ces figures a été largement développée par les anciens mathématiciens grecs. Elles émanent particulièrement des œuvres d'Apollonius de Perga.

Apollonios est célèbre pour ses écrits sur les sections coniques : il a donné à l’ellipse, la parabole et l’hyperbole les noms que nous leur connaissons. On lui attribue en outre l’hypothèse des orbites excentriques pour expliquer le mouvement apparent des planètes et la variation de vitesse de la Lune.

Vitruve indique que l’araignée (la pièce mobile de l’astrolabe plan) aurait été inventée par Eudoxe de Cnide ou Apollonios.

Pappus d’Alexandrie a donné des indications sur une série d’ouvrages d’Apollonios perdus qui permirent la déduction de leurs contenus par les géomètres de la Renaissance. Sa méthode novatrice et sa terminologie, spécialement dans le domaine des coniques, a exercé une influence considérable sur le développement de l'algèbre au Modèle:S- tant sur le continent (Viète, Kepler, Fermat, Descartes, Leibniz) qu'en Angleterre (Wallis, Gregory, Newton, Halley).

Ses travaux en font « avec Archimède et Euclide, ses prédécesseurs, [...] l’une des trois figures les plus éminentes de l’âge d’or de la mathématique hellénistique ».

Les Coniques

Traduction arabe des Coniques datant du Modèle:S (Bibliothèque bodléienne, MS. Marsh 667, fol. 162b et 164a).

Édition de 1654 de Conica édité par Francesco Maurolico

Les Coniques ou Éléments des coniques consistent en un ensemble de huit livres dus à Apollonios. Les quatre premiers nous sont parvenus en grec, avec les commentaires d’Eutocius. Les livres Modèle:V à Modèle:VII ne nous sont connus, accompagnés des Modèle:Nobr, que dans une traduction arabe due à Thābit ibn Qurra et revue par Nasir ad-Din at-Tusi ; le Modèle:Nobr a disparu. L’ensemble de cet ouvrage, avec une reconstitution du huitième livre, a été publié (texte grec et traduction latine), par Edmund Halley en 1710. Celui-ci a, de plus, traduit de l’arabe en 1706 deux autres ouvrages d’Apollonios : Modèle:Langue.

L’analyse des Anciens

Outre les Coniques, Pappus mentionne plusieurs autres traités d’Apollonios (les titres en latin sont dus à Commandino) :

1. Modèle:Grec ancien, Modèle:Langue (« Sur la section de rapport ») ;
2. Modèle:Grec ancien, Modèle:Langue (« Sur la section d’aire ») ;
3. Modèle:Grec ancien, Modèle:Langue (« Sur la section déterminée ») ;
4. Modèle:Grec ancien, Modèle:Langue (« Les Contacts ») ;
5. Modèle:Grec ancien, Modèle:Langue (« Les Inclinaisons ») ;
6. Modèle:Grec ancien, Modèle:Langue (« Les Lieux plans »).

Ces traités, dont chacun comprenait deux livres, étaient compilés, à l’époque où vivait Pappus, avec les Coniques et trois ouvrages d’Euclide (le Livre des données, les Porismes et les Lieux plans) sous le titre générique de Trésor de l’Analyse.

Le propos de l’« analyse des Anciens », tel que l’expose Pappus dans le Modèle:Nobr de sa Collection mathématique, était de trouver une construction à la règle et au compas d’un lieu géométrique donné, ou du moins d’inventorier les cas où une telle construction était possible. Mais Pappus n’a transmis que des résumés des livres d’Apollonios, de sorte que l’étendue et la portée des méthodes de l’analyse a fait l’objet de multiples gloses du Modèle:S mini- au Modèle:S-. S’appuyant sur les indices donnés par Pappus et leurs spéculations personnelles, une pléiade de mathématiciens fameux se sont essayés à reconstruire les traités perdus d’Apollonios dans leur ordre original.

Sur la section de rapport

Les deux livres du traité Modèle:Langue sont consacrés au problème suivant : Modèle:Citation

Sur la section d’aire

Les deux livres du traité Modèle:Langue discutent la résolution d’un problème similaire au précédent : il s’agit cette fois de Modèle:Citation ; dans la terminologie géométrique des Anciens, l’énoncé demande que les deux segments Modèle:Citation.

Une copie arabe de La Section de rapport fut retrouvée à la fin du Modèle:S- par Modèle:Lien à la bibliothèque Bodléienne. Bien qu’il eût commencé la traduction de ce document, ce fut Halley qui la mena à terme, et qui la publia en 1706 avec sa reconstitution du Modèle:Langue.

Sur la section déterminée

Le traité traduit par Commandino sous le titre Modèle:Langue traite pour ainsi dire de problèmes à une dimension d’espace : il s’agit ici de construire sur une droite des segments qui soient dans un rapport donné.

Plus précisément, les problèmes abordés sont les suivants : Modèle:Citation ; ainsi :

• si deux points A, B sont donnés, trouver M tel que $\frac{M{A}^2}{M{B}^2}$ soit égal à un rapport k donné ;
• si trois points A, B, C sont donnés, trouver M tel que $\frac{MA\times MB}{M{C}^2}$ soit égal à un rapport k donné. Une variante étudiée par Apollonios consiste à donner, outre A, B, C, un segment PQ et à chercher le(s) point(s) M tel que $\frac{MA\times MB}{MC\times PQ}=k$ ;
• si quatre points A, B, C, D sont donnés, trouver M tel que $\frac{MA\times MB}{MC\times MD}$ soit égal à un rapport k donné.

Parmi les mathématiciens qui ont cherché à retrouver la solution d’Apollonios, citons :

• Snellius (Apollonius Batavus, Leyde, 1608) ;
• Alexander Anderson d’Aberdeen, dans son supplément à Modèle:Langue (Paris, 1612) ;
• et Robert Simson dans ses Modèle:Langue (Glasgow, 1776), de loin la reconstitution la plus détaillée et la plus convaincante.

Les Contacts

Le traité Modèle:Langue est consacré au problème générique suivant : Modèle:Citation Modèle:Article détaillé Le cas le plus difficile et le plus intéressant historiquement parlant est celui où les trois données sont trois cercles. François Viète, à la fin du Modèle:S-, proposa ce problème (dit « problème d’Apollonius ») à Adrien Romain, qui ne put le résoudre qu’en utilisant une hyperbole auxiliaire pour la construction. Viète lui répondit en publiant une solution « à la règle et au compas » (c’est-à-dire conforme aux exigences de l’analyse des Anciens), dans son livre [[Algèbre nouvelle|Modèle:Langue]] (Paris, 1600).

Les Inclinaisons

Le propos du livre intitulé Modèle:Langue consiste à Modèle:Citation. Marin Ghetaldi et Hugo d’Omerique (Analyse géométrique, Cadix, 1698) se sont essayés à ce problème, mais la reconstitution la plus satisfaisante est sans doute celle de Samuel Horsley (1770).

Les Lieux plans

Modèle:Langue contient un ensemble de propositions relatives à des lieux qui s’avèrent être des droites ou des cercles. Comme Pappus d'Alexandrie ne donne que des cas particuliers de ce type de problème, les géomètres modernes ont longtemps été réduits aux conjectures pour trouver l’idée directrice de cette catégorie d’énoncés. Aussi chacun y est-il allé de son interprétation, à commencer par Pierre de Fermat (1636, publiée finalement dans ses Œuvres, Modèle:Nobr, 1891, Modèle:P.). Suivirent entre autres Frans van Schooten (Leyde, 1656) et Robert Simson (Glasgow, 1749).

Autres œuvres

Les Anciens mentionnent d’autres traités d’Apollonios qui ne sont pas parvenus jusqu’à nous :

1. Modèle:Grec ancien, Sur les miroirs ardents. On pense que ce traité exploitait les propriétés focales des coniques.
2. Modèle:Grec ancien, Sur l’hélice circulaire (citée par Proclus de Lycie).
3. Sur le rapport des volumes du dodécaèdre régulier et de l’icosaèdre inscrits dans une sphère.
4. Modèle:Grec ancien, traitait des principes généraux des mathématiques. Il comportait sans doute des remarques et des pistes d’amélioration pour les Éléments d’Euclide.
5. Dans un traité intitulé Modèle:Grec ancien (Surgissement), Apollonios démontrait, aux dires d’Eutocius, comment encadrer la valeur du Modèle:Nobr plus précisément qu’Archimède ne l’avait fait : ce dernier avait en effet proposé 3+1/7 comme valeur par excès (3,1428…) et 3+10/71 comme valeur par défaut (3,1408…).
6. Le livre Modèle:I de la Collection mathématique de Pappus (malheureusement mutilé) résume un ouvrage d’Apollonios proposant un système de numération et de multiplication adapté à l’écriture des très grands nombres mieux adapté au langage quotidien que celui proposé par Archimède dans son traité L’Arénaire.
7. Un développement de la théorie des grandeurs irrationnelles du [[livre X des Éléments d'Euclide|Modèle:Nobr des Éléments d’Euclide]], allant des irrationnels binômes aux irrationnels multinômes, et des irrationnels ordonnés aux irrationnels non ordonnés (cf. les commentaires de Pappus au Modèle:Nobr des Éléments d’Euclide, transmis par l’arabe et publiés par Woepcke, 1856).

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:En Henk Bos, Redefining geometrical exactness (2001) éd. Springer, Modèle:Coll. Modèle:ISBN.
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Chapitre
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Article

Article connexe

• Théorème de Descartes

Liens externes

• Voir aussi la Bibliographie des IREM (France).
• Modèle:Lien web.