Application bilinéaire

En mathématiques, une application bilinéaire est un cas particulier d'application multilinéaire.

Définition

Soient E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps commutatif K et φ : E×F → G une application. On dit que φ est bilinéaire si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire :

$\mathrm{\forall }(x,x^{\prime })\in E^2,\mathrm{\forall }(y,y^{\prime })\in F^2,\mathrm{\forall }\lambda \in K,\{\begin{array}{c}\phi (x+x^{\prime },y)=\phi (x,y)+\phi (x^{\prime },y)\\ \phi (x,y+y^{\prime })=\phi (x,y)+\phi (x,y^{\prime })\\ \phi (\lambda x,y)=\phi (x,\lambda y)=\lambda \phi (x,y).\end{array}$

Si G = K, on parle de forme bilinéaire.

Exemple

Le produit scalaire est une forme bilinéaire, car il est distributif sur la somme vectorielle, et associatif avec la multiplication par un scalaire :

$\mathrm{\forall }(x,y,z)\in E^3,\mathrm{\forall }(\lambda ,\mu )\in {ℝ}^2,(x\mid \lambda y+\mu z)=\lambda (x\mid y)+\mu (x\mid z)$.

Généralisation

Soit A et B deux anneaux (non nécessairement commutatifs), E un A-module à gauche, F un B-module à droite et G un (A,B)-bimodule. Cela signifie que G est un A-module à gauche et un B-module à droite, avec la relation de compatibilité :

$\mathrm{\forall }(a,b,g)\in A\times B\times G,(ag)b=a(gb)$.

Soit alors φ : E×F → G une application. Comme plus haut, on dit que φ est bilinéaire si elle est linéaire en chacune de ses variables. Cela se traduit par :

$\mathrm{\forall }(x,x^{\prime })\in E^2,\mathrm{\forall }(y,y^{\prime })\in F^2,\mathrm{\forall }(a,b)\in A\times B,\{\begin{array}{c}\phi (x+x^{\prime },y)=\phi (x,y)+\phi (x^{\prime },y)\\ \phi (x,y+y^{\prime })=\phi (x,y)+\phi (x,y^{\prime })\\ \phi (ax,y)=a\phi (x,y)\\ \phi (x,yb)=\phi (x,y)b.\end{array}$

Ceci est bien entendu valide lorsque A = B est un corps non commutatif K, E est un K-espace vectoriel à gauche, F est un K-espace vectoriel à droite, et G est un espace vectoriel à gauche et à droite avec la relation de compatibilité ci-dessus.

Exemples

Sur un espace vectoriel, les produits scalaires et produits vectoriels sont des applications bilinéaires.