Arc capable

Le lieu des points M tels que $\widehat{AMB}=\alpha$ donné est l'arc de cercle capable $\stackrel{⌢}{AB}$.

En géométrie euclidienne plane, la notion d'arc capable est un lieu géométrique caractérisé par la question suivante : Étant donnés deux points A et B, quel est l'ensemble des points M du plan tel que l'angle $\widehat{AMB}$ soit égal à une valeur constante donnée Modèle:Mvar ?

En fait sauf dans le cas où A, B, et M sont alignés (et dans ce cas le lieu cherché est la droite (AB)), le lieu des points M est situé sur un arc de cercle dont [AB] est une corde. On l'appelle l'arc capableModèle:,Modèle:,. On dit que le segment [AB] est vu depuis l'arc sous l'angle Modèle:Mvar ou encore que l'arc $\stackrel{⌢}{AB}$ est capable d'inscrire un angle de la mesure Modèle:Mvar.

Le théorème de l'arc capable est très lié au théorème de l'angle inscrit dont on peut considérer qu'il est la réciproque. On peut aussi l'étudier sous l'angle des propriétés des homothéties du plan euclidien.

La construction des arcs capables était une technique utilisée autrefois pour déterminer la position des navires.

Théorème de l'arc capable

Dans la formulation du théorème ci-dessus $(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB})$ désigne un angle orienté. On peut aussi reformuler ce résultat en considérant l'angle géométrique $\widehat{AMB}$ :

Modèle:Théorème Cet arc est appelé l'arc capable $\stackrel{⌢}{AB}$.

Une démonstration figure dans l'article sur le théorème de l'angle inscrit.

Construction géométrique d'un arc capable

Le centre O du cercle porteur de l'arc capable est situé à l'intersection de la médiatrice de la corde [AB] et de la perpendiculaire en A à la tangente [AT].

Pour construire un arc capable, il est bon d'avoir remarqué que lorsque M tend vers A, [MB] tend vers la corde [AB] et (MA) tend vers la tangente au cercle en A, que nous noterons [AT). L'angle entre la tangente [AT) au cercle en A et la corde [AB] a donc pour mesure Modèle:Mvar. L'article sur le théorème de l'angle inscrit propose une démonstration de cette propriété.

En utilisant un rapporteur et en reportant l'angle Modèle:Mvar en A, on peut donc construire la tangente au cercle en A. Le centre O du cercle porteur de l'arc capable est situé à l'intersection de la médiatrice de la corde [AB] et de la perpendiculaire en A à la tangente [AT).

Le rayon R de l'arc capable se calcule aisément en considérant le triangle rectangle issu de la division en 2 du triangle isocèle AOB. L'angle au sommet de AOB étant de 2α (cf. : théorème de l'angle inscrit), la séparation de AOB en deux triangles rectangles via la médiatrice de AB, permet de scinder en deux angles égaux l'angle AOB, ce qui permet d'écrire :

$$\frac{\frac{AB}{2}}{R}=\sin (\alpha )$$

donc :

$$R=\frac{AB}{2}\frac{1}{\sin (\alpha )}=\frac{AB}{2}\csc (\alpha )$$

La distance du centre O du cercle au segment AB vaut : $R\cos (\alpha )=\frac{AB}{2}\frac{\cos (\alpha )}{\sin (\alpha )}=\frac{AB}{2}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\alpha )$ Modèle:Clr

Application

Cette technique est l'une des méthodes utilisées autrefois par les marins en navigation côtière, pour déterminer la position du navire. Le sextant, lorsqu'il est utilisé dans le plan horizontal, permet de mesurer l'angle entre deux amers. Ainsi, observant à l'horizon deux amers, c'est-à-dire deux points de repère identifiés, comme des phares, château d'eauModèle:Etc., on peut mesurer l'angle entre ces deux points, et ensuite tracer, sur la carte, l'arc capable correspondant à ces deux amers et à l'angle mesuréModèle:,Modèle:,. En répétant l'opération avec deux autres amers, on obtient la position du navire sur la carte à l'intersection des deux arcs capables.