Arrangement

En mathématiques, l'arrangement, défini pour tout entier naturel Modèle:Mvar et tout entier naturel Modèle:Mvar inférieur ou égal à Modèle:Mvar, est le nombre de parties ordonnées de Modèle:Mvar éléments dans un ensemble de Modèle:Mvar éléments. Il est noté $A_n^k$.

L'arrangement fait partie de l'analyse de dénombrement (ou combinatoire) et est utilisé, entre autres, dans le calcul de probabilité.

Lorsque l'on choisit k objets parmi n objets et que l’ordre dans lequel les objets sont sélectionnés revêt une importance, on peut les représenter par un k-uplet d'éléments distincts et on en constitue une liste ordonnée sans répétition possible, c'est-à-dire dans laquelle l'ordre des éléments est pris en compte (si l'on permute deux éléments de la liste, on a une liste différente, et un élément ne peut être présent qu'une seule fois). Une telle liste ordonnée est un arrangement.

Le nombre d'arrangements que l'on peut composer est noté $A_n^k$ (lire « A » « n » « k ») et vaut :

$A_n^k=n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)$.

Cette formule peut se comprendre à l'aide d'un arbre des choix successifs, puisque le premier élément est choisi parmi n, le second parmi (n – 1)… et le dernier parmi (n – k + 1).

Avec la notation factorielle, où n! = 1×2×…×n, cette formule devient

$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}\text{pour }k\le n,$

En particulier, $A_n^k=0$ pour k > n (ce qui exprime le principe des tiroirs). Il s’agit en fait de la factorielle décroissante appliquée aux seuls entiers naturels :

$A_n^k=n^{\underset{\_}{k}}$.

Algébriquement, $A_n^k$ est le nombre d'injections d'un ensemble à k éléments vers un ensemble à n éléments. Le nombre d'arrangements est lié au coefficient binomial $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ (anciennement $C_n^k$) par :

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{A_n^k}{k!}$.

Exemples

Exemple d'énumération d'éléments par arrangement

Soit un ensemble de 4 éléments E = Modèle:Math. Les arrangements sans répétition de 3 éléments choisis parmi les 4 éléments de E sont : Modèle:Retrait

Il y en a $A_4^3=24.$

Exemple de dénombrement pour n grand

À un examen, cinq candidats tirent les uns après les autres un sujet dans une urne contenant des questions toutes différentes. Le premier tirage se fera sur un ensemble de 50 questions possibles. À chaque tirage suivant, la question qui vient d'être tirée est enlevée de l'urne. Ainsi, en faisant passer les cinq candidats, le tirage se fait d'abord sur 50, puis sur 49, et ainsi de suite jusqu'à 46 qui représente l'ensemble des questions restantes dans l'urne avant le dernier tirage. Le nombre d'arrangements pour cette série de 5 questions prises parmi 50 est alors Modèle:Formule.

Si l'on remettait la question tirée de nouveau dans l'urne à chaque tirage, ce serait un arrangement avec répétition de 5 (k) parmi 50 (n), et la solution vaudrait 50Modèle:Exp.

Exemples d'arrangements :

• une phrase sans répétition de mot est un arrangement du dictionnaire ;
• une association forme son bureau (président, trésorier, secrétaire) à partir des membres de l'association ; le bureau est un arrangement de l'association ;
• le podium d'une course est un arrangement de l'ensemble des participants.

Définition

Plus explicitement : c'est un k-uplet (a₁, a₂, ..., a_k) d'éléments de E tel que pour tous i, j ∈ [1, k] distincts, on ait a_i ≠ a_j.

Remarque

Construire un arrangement revient à placer les uns après les autres, k objets discernables pris parmi n, dans k cases numérotées et donc une permutation de n éléments est un n-arrangement de n éléments. La notion d'arrangement généralise ainsi celle de permutation.

Théorème

Pour une démonstration intuitive et une démonstration formelle, voir le lien ci-dessous vers Wikiversité.

Voir aussi

Article connexe

Combinaison (mathématiques)

Liens externes

• Suite Modèle:OEIS2C de l'OEIS