Cardinal ineffable

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des ensembles, un cardinal ineffable est un certain type de grand cardinal, introduit par Jensen & Kunen (1969).

Définitions

Dans les définitions suivantes, $\kappa$ sera toujours un cardinal régulier indénombrable.

Un cardinal $\kappa$ est dit presque ineffable si pour toute fonction $f:\kappa \to 𝒫(\kappa )$ (où $𝒫(\kappa )$ est l'ensemble des parties de $\kappa$) ayant la propriété que $f(\delta )\subseteq \delta$ pour tout $\delta \in \kappa$, il existe un $S\subseteq \kappa$ de cardinalité $\kappa$ et homogène pour $f$, dans le sens où pour tous ${\delta }_1<{\delta }_2$ dans $S$, $f({\delta }_1)=f({\delta }_2)\cap {\delta }_1$.

Un cardinal $\kappa$ est dit ineffable si pour chaque fonction $f:[\kappa {]}^2\to \{0,1\}$ (où $[\kappa {]}^2$ désigne l'ensemble des paires d'éléments de $\kappa$), il existe un sous-ensemble stationnaire de $\kappa$ sur lequel $f$ est homogène : c'est-à-dire, ou bien $f$ envoie toutes les paires d'éléments de ce sous-ensemble sur $0$, ou bien $f$ envoie toutes ces paires sur $1$. Une formulation équivalente est qu'un cardinal $\kappa$ est ineffable si pour toute suite $⟨A_{\alpha }:\alpha \in \kappa ⟩$ telle que $A_{\alpha }\subseteq \alpha$ pour tout $\alpha \in \kappa$, il existe $A\subseteq \kappa$ tel que $\{\alpha \in \kappa :A\cap \alpha =A_{\alpha }\}$ est stationnaire dans $\kappa$.

Une autre formulation équivalente est qu'un cardinal régulier indénombrable $\kappa$ est ineffable si pour tout ensemble $S\subseteq 𝒫(\kappa )$ de cardinalité $\kappa$, il existe un filtre $ℱ$ sur $\kappa$ non trivial, $\kappa$-complet, normal (c'est-à-dire stable par intersection diagonale) et décidant $S$ : c'est-à-dire que pour tout $X\in S$, ou bien $X\in ℱ$ ou bien $\kappa \setminus X\in ℱ$. Cette formulation est semblable à une caractérisation des Modèle:Lien.

Plus généralement, $\kappa$ est dit $n$-ineffable (pour un entier positif $n$) si pour tout $f:[\kappa {]}^n\to \{0,1\}$, il existe un sous-ensemble stationnaire de $\kappa$ sur lequel $f$ est $n$-homogène (c'est-à-dire que $f$ prend la même valeur sur tous les $n$-uplets non ordonnés issus du sous-ensemble). Ainsi, un cardinal est ineffable si et seulement s’il est 2-ineffable. L'ineffabilité est strictement plus faible que la 3-ineffabilité.

Un cardinal totalement ineffable est un cardinal qui est $n$-ineffable pour tout $2\le n<{\mathrm{\aleph }}_0$. Si $\kappa$ est $(n+1)$-ineffable, alors l'ensemble des $n$-cardinaux ineffables inférieurs à $\kappa$ est un sous-ensemble stationnaire de $\kappa$.

Chaque cardinal $n$-ineffable est $n$-presque ineffable (et l'ensemble des cardinaux $n$-presque ineffables lui étant inférieurs est stationnaire), et chaque $n$-presque ineffable est $n$-Modèle:Lien (et l'ensemble des cardinaux $n$-subtils lui étant inférieurs est stationnaire). Le plus petit cardinal $n$-subtil n'est même pas faiblement compact (et contrairement aux cardinaux ineffables, le plus petit cardinal $n$-presque ineffable est ${\mathrm{\Pi }}_2^1$-Modèle:Lien), mais les cardinaux $(n-1)$-ineffables sont stationnaires en dessous de chaque $n$-cardinal subtil.

Un cardinal $\kappa$ est complètement ineffable s'il existe un ensemble non-vide $R\subseteq 𝒫(\kappa )$ tel que :

— tout $A\in R$ est stationnaire ;

— pour tout $A\in R$ et $f:[\kappa {]}^2\to \{0,1\}$, il existe $B\subseteq A$ homogène pour $f$ avec $B\in R$.

Utiliser n'importe quel entier $n\ge 2$ à la place de $2$ conduirait à une définition équivalente, donc les cardinaux complètement ineffables sont totalement ineffables (et leur existence a une plus grande force de cohérence). Les cardinaux complètement ineffables sont ${\mathrm{\Pi }}_n^1$-indescriptibles pour tout n, mais la propriété d'être complètement ineffable est ${\mathrm{\Delta }}_1^2$.

La Modèle:Lien de l'existence des cardinaux complètement ineffables est inférieure à celle de l'existence des Modèle:Lien, qui à son tour est inférieure à celle de l'existence des Modèle:Lien, qui est inférieure à celle de l'existence des Modèle:Lien. Une liste des axiomes de grands cardinaux par force de cohérence est disponible dans la section ci-dessous.

Voir aussi

• Modèle:Lien

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage