Catégorie de Fukaya

En topologie symplectique, un domaine actif de la recherche mathématique, la catégorie de Fukaya d'une variété symplectique $(M,\omega )$ est la catégorie $ℱ(M)$ dont les objets sont les sous-variétés lagrangiennes de $M$, et les morphismes sont les groupes d'homologie de Floer : $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(L_0,L_1)=FC(L_0,L_1)$. Pour décrire sa structure plus fine, il faut recourir au langage des quasi-catégories. Dans le cadre de cette théorie, la catégorie de Fukaya est une A_∞-catégorie.

Nommées d'après leur découvreur, Kenji Fukaya , qui a introduit le concept d'algèbre $A_{\mathrm{\infty }}$ dans le contexte de l'homologie de Morse, ces catégories se présentent sous diverses formes. Les catégories de Fukaya étant des A_∞-catégories, elles possèdent des catégories dérivées associées, qui font l'objet de la célèbre conjecture de symétrie miroir homologique de Maxime Kontsevitch. Cette conjecture a été confirmée par le calcul dans un certain nombre d'exemples relativement simples.

Références

• P. Seidel, Fukaya categories and Picard-Lefschetz theory, Zurich lectures in Advanced Mathematics
• Fukaya, Y-G. Oh, H. Ohta, K. Ono, Lagrangian Intersection Floer Theory, Studies in Advanced Mathematics
• Fil de discussion sur MathOverflow 'Is the Fukaya category "defined"?'

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