Cercles de Johnson

Cercles de Johnson et cercle circonscrit aux trois points d'intersection

En géométrie plane, les cercles de Johnson sont trois cercles de même rayon et ayant un point H en commun. Les trois autres points d'intersection des cercles entre eux possèdent de nombreuses propriétés.

Il se peut, dans le cas où deux des cercles sont tangents, qu'un des points soit confondu avec H mais, même dans ce cas particulier, les résultats énoncés ci-dessous restent valides. Modèle:Clr

Théorème de Johnson

Roger Johnson démontre vers 1916 que ces trois points sont sur un cercle de même rayon que les trois premiers cercles.

Système orthocentrique

On peut d'autre part observer que le point H est orthocentre du triangle ABC.

En effet, dans les losanges définis précédemment, le vecteur $\overrightarrow{HC}$ est orthogonal à la droite Modèle:Math. Or les égalités vectorielles précédentes permettent de dire que le quadrilatère Modèle:Mvar est un parallélogramme. Le vecteur $\overrightarrow{HC}$ est donc aussi orthogonal à Modèle:Math.

Il en est de même du vecteur $\overrightarrow{HB}$ et de la droite Modèle:Math ainsi que du vecteur $\overrightarrow{HA}$ et de la droite Modèle:Math. Le point Modèle:Mvar est bien orthocentre du triangle Modèle:Math.

Triangle de Johnson

On appelle triangle de Johnson, le triangle formé par les centres des trois cercles. Ce triangle est le symétrique du triangle formé par les points d'intersection des trois cercles, par rapport au centre du cercle des neuf points commun aux deux triangles.

Cercles de Johnson et triangle anticomplémentaire

On peut remarquer en outre que les deux triangles ont même droite d'Euler qui, passant par Modèle:Mvar, reste globalement invariante par la symétrie de centre Modèle:Mvar et que les points Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, centres respectifs des cercles circonscrits aux deux triangles sont également symétriques par rapport à ce point.