Champ équiprojectif

Dans un espace affine euclidien $E$, un champ de vecteurs $(\overrightarrow{V_P}{)}_{P\in E}$ est équiprojectif si :

$\mathrm{\forall }P\in E,\mathrm{\forall }Q\in E,(\overrightarrow{V_P}|\overrightarrow{PQ})=(\overrightarrow{V_Q}|\overrightarrow{PQ})$

où $(\cdot |\cdot )$ désigne le produit scalaire.

Il existe alors un endomorphisme antisymétrique $u$ tel que :

$\mathrm{\forall }P\in E,\mathrm{\forall }Q\in E,\overrightarrow{V_Q}=\overrightarrow{V_P}+u(\overrightarrow{PQ)}$.

Cette notion est utilisée en physique, voir Équiprojectivité en physique.

Démonstration de l'existence de l'endomorphisme

Antisymétrie

Soit $O$ un point arbitraire de $E$. Pour tout vecteur $\overrightarrow{x}$, il existe un unique point $P$ tel que $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OP}$ et on définit $u$ par $u(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{V_P}-\overrightarrow{V_O}$.

Montrons que, pour tous vecteurs $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OP}$ et $\overrightarrow{y}=\overrightarrow{OQ}$, on a :

$(u(\overrightarrow{x})|\overrightarrow{y})=-(\overrightarrow{x}|u(\overrightarrow{y}))$

ce qui prouve l'antisymétrie de $u$.

On a en effet :

$(u(\overrightarrow{x})|\overrightarrow{y})=(\overrightarrow{V_P}-\overrightarrow{V_O}|\overrightarrow{OQ})=(\overrightarrow{V_P}|\overrightarrow{OQ})-(\overrightarrow{V_O}|\overrightarrow{OQ})$

$=(\overrightarrow{V_P}|\overrightarrow{OQ})-(\overrightarrow{V_Q}|\overrightarrow{OQ})$ en utilisant l'équiprojectivité du champ $V$

$=(\overrightarrow{V_P}|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PQ})-(\overrightarrow{V_Q}|\overrightarrow{OQ})$

$=(\overrightarrow{V_P}|\overrightarrow{OP})+(\overrightarrow{V_P}|\overrightarrow{PQ})-(\overrightarrow{V_Q}|\overrightarrow{OQ})$

$=(\overrightarrow{V_P}|\overrightarrow{OP})+(\overrightarrow{V_Q}|\overrightarrow{PQ})-(\overrightarrow{V_Q}|\overrightarrow{OQ})$ en utilisant de nouveau l'équiprojectivité.

Si on échange les rôles de $\overrightarrow{x}$ et $\overrightarrow{y}$, on obtiendra :

$(\overrightarrow{x}|u(\overrightarrow{y}))=(u(\overrightarrow{y})|\overrightarrow{x})=(\overrightarrow{V_Q}|\overrightarrow{OQ})+(\overrightarrow{V_P}|\overrightarrow{QP})-(\overrightarrow{V_P}|\overrightarrow{OP})$

On obtient bien :

$(u(\overrightarrow{x})|\overrightarrow{y})=-(\overrightarrow{x}|u(\overrightarrow{y}))$

Linéarité

On déduit de l'antisymétrie que $u$ est linéaire. En effet, pour tout $\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{y}$, $\lambda$, on a :

$(u\left(\lambda \overrightarrow{x}\right)|\overrightarrow{y})=-(\lambda \overrightarrow{x}|u(\overrightarrow{y}))=-\lambda (\overrightarrow{x}|u(\overrightarrow{y}))=\lambda (u(\overrightarrow{x})|\overrightarrow{y})=(\lambda u(\overrightarrow{x})|\overrightarrow{y})$

Cette égalité étant vraie pour tout $\overrightarrow{y}$, on en déduit que :

$u\left(\lambda \overrightarrow{x}\right)=\lambda u\left(\overrightarrow{x}\right)$

On procède de même pour montrer que :

$u(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{x^{\prime }})=u(\overrightarrow{x})+u(\overrightarrow{x^{\prime }})$

Cas de la dimension 3, torseur

Modèle:Article détaillé Dans une base orthonormée directe, $u$, étant un endomorphisme antisymétrique, possède une matrice antisymétrique Modèle:Centrer

Si on nomme $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}$ le vecteur de composantes $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$, alors la matrice précédente est celle de l'application $\overrightarrow{x}\mapsto \overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{x}$.

On a donc $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},u(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{x}$ et donc

$\overrightarrow{V_Q}=\overrightarrow{V_P}+\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}\wedge \overrightarrow{PQ}$

$(\overrightarrow{V_P}{)}_{P\in E}$ est le champ des moments d'un torseur de résultante $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}$.

Exemple

L'exemple typique de champ équiprojectif en dimension 3 est le champ des vitesses d'un solide en mouvement. En effet, si $P$ et $Q$ sont deux points du solide, et si on note $d$ la distance entre $P$ et $Q$, on a :

$\Vert \overrightarrow{PQ}{\Vert }^2=d^2=(\overrightarrow{PQ}|\overrightarrow{PQ})$

et en dérivant par rapport au temps :

$(\overrightarrow{V_Q}-\overrightarrow{V_P}|\overrightarrow{PQ})=0$

où $\overrightarrow{V}$ désigne la vitesse en un point.

Le champ des vitesses est donc un torseur. Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}$ s'appelle vecteur instantané de rotation.

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage

Articles connexes

• Mécanique du solide
• Torseur
• Équiprojectivité en physique