Circuit équivalent de KLM

Le circuit équivalent dit de KLM est utilisé dans la simulation de transducteurs piézoélectriques, qu'il s'agisse de transducteurs ultrasonores ou de filtres à ondes de volume par exemple.

Il doit son nom aux trois coauteurs de la publication originale remontant à 1970 : Krimholtz, Leedom and Matthae. Il s'appuie sur la théorie des lignes de transmission et sur l'analogie électro-mécanique. L'autre schéma largement utilisé est le circuit équivalent de Mason, les deux présentant nombre de ressemblances.

Schéma d'une couche piézoélectrique

Le schéma présente trois ports : un port électrique, dont les deux terminaux correspondent aux deux électrodes placées sur les faces de la couche piézoélectrique, et deux ports mécaniques, qui, par le biais de l'analogie électro-mécanique, représentent la force et la vitesse sur chaque face.

Les termes utilisés pour construire le schéma sont les suivants :

• Géométrie :
  • $A$ la surface de la couche (en mModèle:2)
  • $t$ son épaisseur (m)
• Propriétés du matériau :
  • la rigidité du matériau dans l'axe 3 : $C_{33}^D$ (en Modèle:Nb) ;
  • la permittivité relative à déformation constante : ${\epsilon }_{33}^S$ (adimensionnelle)
  • la constante piézoélectrique : $h_{33}$ (Modèle:Nb).
  • la masse volumique : $\rho$ (Modèle:Nb).
  • la célérité dans l'épaisseur : $v^D=\sqrt{\frac{C_{33}^D}{\rho }}$
  • l'impédance mécanique : $Z_0=A\sqrt{C_{33}^D\rho }$
• l'impédance mécanique appliquée sur les deux faces : $Z_G$, $Z_D$ (gauche et droite)
• la fréquence angulaire $\omega$ (sModèle:-1)
• le nombre d'onde $\mathrm{\Gamma }=\omega \sqrt{\left(\frac{\rho }{c_{33}}\right)}$
• Termes du schéma :
  • Capacité électrique statique : $C_0=\frac{{\epsilon }_{33}^{S}A}{t}$
  • coefficient de transformation $\varphi =\frac{\omega Z_0}{2h_{33}}csc\left(\frac{\mathrm{\Gamma }t}{2}\right)$
  • Les impédances ramenées :
    • A gauche : $Z_{TG}=\left(\frac{Z_{G}cos(\frac{\mathrm{\Gamma }t}{2})+i{Z}_{0}sin(\frac{\mathrm{\Gamma }t}{2})}{Z_{0}cos(\frac{\mathrm{\Gamma }t}{2})+i{Z}_{G}sin(\frac{\mathrm{\Gamma }t}{2})}\right)$
    • A droite : $Z_{TD}=\left(\frac{Z_{D}cos(\frac{\mathrm{\Gamma }t}{2})+i{Z}_{0}sin(\frac{\mathrm{\Gamma }t}{2})}{Z_{0}cos(\frac{\mathrm{\Gamma }t}{2})+i{Z}_{D}sin(\frac{\mathrm{\Gamma }t}{2})}\right)$
  • Le terme de réactance $X_1=i\frac{h_{33}^2}{{\omega }^2{Z}_0}sin(\mathrm{\Gamma }t)$

Oscillateur libre

Dans le cas où la couche piézoélectrique est « dans le vide », les deux ports mécaniques sont libres (pression nulle). On a donc $Z_G=Z_D=0$.

Il en ressort que $Z_{TG}=Z_{TD}=Z_{0}tan\left(\frac{\mathrm{\Gamma }t}{2}\right)$

L'impédance vue du port électrique vaut alors :

$Z_{free}=\frac{1}{i{C}_0\omega }+X_1+\frac{Z_0}{2{\varphi }^2}tan\left(\frac{\mathrm{\Gamma }t}{2}\right)$

Soit en remplaçant les termes par leur expression respective :

$Z_{free}=\frac{t}{i{\epsilon }_{33}^{S}A\omega }+i\frac{h_{33}^2}{{\omega }^2{Z}_0}sin(\mathrm{\Gamma }t)+\frac{2h_{33}^2}{{\omega }^2{Z}_{0}cs{c}^2\left(\frac{\mathrm{\Gamma }t}{2}\right)}tan\left(\frac{\mathrm{\Gamma }t}{2}\right)$

On peut alors factoriser l'expression de la capacité et remplacer $Z_0$ par son expression :

$Z_{free}=\left(\frac{t}{i\omega A{\epsilon }_{33}^S}\right)(1+\frac{A{\epsilon }_{33}^S{h}_{33}^2}{\omega A\sqrt{C_{33}^D\rho }}sin(\mathrm{\Gamma }t)+\frac{2i{\epsilon }_{33}^S{h}_{33}^2}{\omega \sqrt{C_{33}^D\rho }}\frac{si{n}^3\left(\frac{\mathrm{\Gamma }t}{2}\right)}{cos\left(\frac{\mathrm{\Gamma }t}{2}\right)})$

On pose le coefficient de couplage électromécanique du mode épaisseur $k_t$, qu'il ne faut pas confondre avec le $k_{33}$ :

$k_t^2=\frac{{\epsilon }_{33}^S{h}_{33}^2}{c_{33}^S}$

Par remplacement : $Z_{free}=\left(\frac{t}{i\omega A{\epsilon }_{33}^S}\right)(1+k_t^2\frac{\sqrt{C_{33}^D}}{\omega \sqrt{\rho }}sin(\mathrm{\Gamma }t)+k_t^2\frac{2i\sqrt{C_{33}^D}}{\omega \sqrt{\rho }}\frac{si{n}^3\left(\frac{\mathrm{\Gamma }t}{2}\right)}{cos\left(\frac{\mathrm{\Gamma }t}{2}\right)})$

On identifie $\mathrm{\Gamma }$ et on factorise $k_t^2$ :

Par remplacement : $Z_{free}=\left(\frac{t}{i\omega A{\epsilon }_{33}^S}\right)(1+k_t^2(\frac{sin(\mathrm{\Gamma })}{\mathrm{\Gamma }}+\frac{2i}{\mathrm{\Gamma }}\frac{si{n}^3\left(\frac{\mathrm{\Gamma }t}{2}\right)}{cos\left(\frac{\mathrm{\Gamma }t}{2}\right)}\left)\right)$

D'où finalement :

$Z_{free}=\left(\frac{t}{i\omega A{\epsilon }_{33}^S}\right)(1-k_t^2\frac{tan\frac{\mathrm{\Gamma }t}{2}}{\frac{\mathrm{\Gamma }t}{2}})=\left(\frac{t}{i\omega A{\epsilon }_{33}^S}\right)(1-k_t^2\frac{tan\left(\frac{t\omega }{2}\sqrt{\frac{\rho }{C_{33}^D}}\right)}{\left(\frac{t\omega }{2}\sqrt{\frac{\rho }{C_{33}^D}}\right)})$.

Cette expression, qui est la même qu'en utilisant le circuit équivalent de Mason est notamment utile pour déterminer les propriétés piézoélectriques du matériau par problème inverse, l'impédance électrique étant facile à mesurer expérimentalement.

La résonance se manifeste pour :

$\frac{\mathrm{\Gamma }t}{2}=\frac{\pi }{2}$

${\omega }_{\lambda /2}=\frac{\pi }{t}\sqrt{\frac{c_{33}}{\rho }}$

Prise en compte des pertes

Dans l'expression ci-dessus, l'impédance est purement imaginaire (il n'y a donc aucune dissipation d'énergie) et diverge à la résonance. Cette situation n'est évidemment pas physique, et se résout en prenant en compte les pertes. Les pertes mécaniques se manifestent en ajoutant une petite partie imaginaire au $c_{33}^D$. De même, on ajoute une partie imaginaire au ${\epsilon }_{33}^S$ pour représenter les pertes diélectriques, et au $h_{33}$ pour les pertes intrinsèques à l'effet piézoélectrique.

On représente ici l'impédance électrique réduite d'une plaque piézoélectrique libre, résonant dans son mode épaisseur, conformément à l'équation ci-dessus. En bleu, le modèle ne comprend pas de pertes, en vert, on a ajouté un taux de pertes de 1 %. La fréquence est réduite, c'est-à-dire que la fréquence correspondance à la résonance $\lambda /2$ est ramenée à 1. De même, la valeur de l'impédance est normalisée.