Coefficient de restitution

En dynamique, le coefficient de restitution (appelé aussi élasticité au rebondissement) est un coefficient physique qui intervient lors de l'étude d'une collision. Son introduction dans l'étude des chocs de solides réels dans l'air a été suggérée pour la première fois par Isaac Newton en 1687, et c'est pourquoi il est parfois appelé « coefficient de Newton ». Il dépend des caractéristiques physiques des matériaux dont sont faits les corps qui entrent en collision.

Le coefficient, e est défini comme le rapport entre les vitesses relatives après et avant l'impact.

$\text{Coefficient de restitution }(e)=\frac{\text{Vitesse relative après collision}}{\text{Vitesse relative avant collision}}$

On peut l'exprimer de la façon suivante: $\text{vitesse de separation}=e\times \text{vitesse d'approche}$

Établissement du coefficient

Le coefficient peut prendre des valeurs entre 0 et 1. Un coefficient de restitution supérieur à 1 est théoriquement impossible, et représente une collision qui génère de l'énergie cinétique. Un coefficient de restitution négatif est aussi théoriquement impossible : les deux particules en interaction se « traverseraient » lors du choc.

La valeur du coefficient de restitution $e$ s'obtient par le rapport entre la vitesse relative finale $v_f$ et initiale $v_i$ des deux corps considérés:

$e=\frac{v_f}{v_i}=\sqrt{\frac{K_f}{K_i}}$

On montre aisément que la racine du rapport entre la hauteur d'un rebond $h_n$ et la hauteur du rebond précédent $h_{n-1}$ donne le même résultat.

$e=\sqrt{\frac{h_n}{h_{n-1}}}$

Collision dans une dimension

Si $v$ est la vitesse finale du système, $u$ la vitesse initiale du système et $e$ le coefficient de restitution, on a simplement $v=-eu$ .

Quelques valeurs

Les premières valeurs ci-après sont données dans la plupart des mémentos, mais on peut vérifier qu'elles ne sont pas différentes de celles données par Isaac Newton dans les Principia. Ces deux livres donnent pour l'acier un coefficient de 5/9 qui est manifestement trop faible. Dans la Dynamique Appliquée de Léon Lecornu, le coefficient de restitution obtenu par percussion de deux billes d'acier est celui indiqué ci-dessous.

Solide 1	Solide 2	e
bois	bois	1/2
liège	liège	5/9
ivoire	ivoire	8/9
verre	verre	15/16
acier	acier	19/20

Collision élastique

Si la collision est élastique, $e=1$, et donc $v=-u$. L'énergie cinétique est conservée.

Une collision parfaitement élastique ne s'observe jamais au niveau macroscopique. On considère cependant parfois que la collision est élastique quand son coefficient de restitution est très proche de 1. Plus particulièrement, ce sont des matériaux durs qui ne perdent pas d'énergie sous forme de déformation, l'exemple typique étant une collision entre deux billes de billard.

Application : rebonds d'un corps

On lâche un corps verticalement, il va donc rebondir, et l'on peut quantifier les grandeurs physiques intervenant dans les rebonds grâce au coefficient de restitution mis en jeu.

Hauteur maximum $h_n$ après $n$ rebonds : $h_n=e^{2n}{h}_0$ où $h_0$ est la hauteur initiale (avant de lâcher le corps). Modèle:Démonstration

Temps $t_n$ après le $n$ rebond et avant le rebond $n+1$ : $t_n=e^n\sqrt{\frac{8h_0}{g}}$

À l'aide de la dernière relation, le temps total de rebondissement est :

$T=t_0+\sqrt{\frac{8h_0}{g}}\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^i$

Par une suite géométrique, on trouve finalement :

$T=t_0+\left(\frac{e}{1-e}\right)\times \sqrt{\frac{8h_0}{g}}$

avec $t_0$ temps avant le premier rebond. Modèle:Démonstration Remarque : Le nombre de rebonds est infini mais $T$ est fini.

Notes et références

• Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
• Modèle:Ouvrage
• De Laharpe, Notes et formules de l'ingénieur (Modèle:20e, 1920), éd. Albin Michel, Paris
• Horst Küchling, Taschenbuch der Physik (Modèle:7e éd. 1985), éd. Harri Deutsch Verlag, Francfort

Voir aussi

Articles connexes

• Choc élastique
• Choc inélastique
• Collision
• Super balle

Liens externes

• article « La pratique du billard » qui établit de façon générale les équations vectorielles du choc entre deux corps de vitesse quelconque.

Modèle:Portail